关于行程“双线”条件行程理由小结

“双线”条件的行程问题是初中数学学习中的一个重点和难点，在近年来中考中屡见不鲜.这类问题的最大特点是以两个物件的运动为背景，将距离（或路程）和时间之间的源于：论文大纲怎么写www.618jyw.com
函数关系在同一平面直角坐标系中描述出来.解答它们，应认真读题，观察“双线”， 把其中一些特殊点的横坐标和纵坐标都找出来.这样，容易确定“双线”中的直线，或折线中的线段和射线对应的一次函数关系式.现仅以2012年的中考题为例介绍如下：

一、 “双线”条件的相遇问题

例1 （河南省）甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑摩托车，甲到达B地停留半小时后返回A地.如图是他们离A地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系图象.
（1） 求甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2） 若乙出发后2小时和甲相遇，求乙从A地到B地用了多少时间？
分析 依题意，折线OCDE表示甲离A地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系图象，线段OF表示乙离A地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系图象.（1） 只需确定线段DE对应的函数关系式；（2） 先确定乙骑摩托车2小时行驶的路程及速度.
解：（1） 设线段DE对应的函数关系式为y=kx+b.
因为点D的坐标为（

1.5，90），点E的坐标为（3，0），

所以

1.5k+b=903k+b=0

解之，k=-60，b=180
所以甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式为y=-60x+180，其中

1.5≤x≤

3.

（2） 在y=-60x+180中，当x=2时，y=60. 因为乙出发后2小时和甲相遇，
所以乙出发后2小时行驶的路程为60千米，乙骑摩托车的速度为30千米/小时.
因为A、B两地相距90千米，
所以乙从A地到B地所用的时间为90÷30=3（小时）.

二、 “双线”条件的追及问题

例2 （江苏省南通市）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地.如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系.根据图象，解答下列问题：
（1）线段CD表示轿车在途中停留了 小时；
（2） 求线段DE对应的函数解析式；
（3）求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货.
分析 （1） 由C、D两点对应的横坐标，可确定轿车在途中停留的时间；（2） 不难发现，点D的坐标为（2.5，80），点E的坐标为（4.5，300），这样，线段DE对应的函数解析式能求出；（3） 当轿车追上货车时，两者对应的函数关系图象相交于一点.为此，只需确定线段OA与线段DE交点的横坐标.
解 （1） 显见，点C对应的横坐标为2，点D对应的横坐标为2.5.
所以轿车在途中停留的时间为

2.5-2=0.5（小时）.

（2） 设线段DE对应的函数解析式为y=kx+b。
因为点D的坐标为（

2.5，80），点E的坐标为（4.5，300），

所以

2.5k+b=80，4.5k+b=300.

解之，k=110，b=-195.
所以线段DE对应的函数解析式为y=110x-195.
（3） 设线段OA对应的函数解析式为y=mx.
因为点A的坐标为（5，300），
所以5m=300.
解之，m=60.
所以线段OA对应的函数解析式为y=60x.
由y=110x-195和y=60x，得110x-195=60x.
解之，x=3.9
所以线段OA与线段DE交点的横坐标为3.9
所以轿车在货车出发后

3.9小时追上货车。

因为轿车比货车晚出发1小时，
所以轿车从甲地出发后经过

2.9小时追上货车.

三、 “双线”条件的相距问题

例3 （黑龙江省龙东地区）甲、乙两个港口相距72千米，一艘轮船从甲港出发，顺流航行3小时到达乙港，休息1小时后立即返回；一艘快艇在轮船出发2小时后从乙港出发，逆流航行2小时到达甲港，并立即返回（掉头时间忽略不计）。已知水流速度是2千米/小时，下图表示轮船和快艇距离甲港的距离y（千米）与轮船出发时间x（小时）之间的函数关系式，结合图象解答下列问题：
（1）轮船在静水中的速度是书室 千米/小时，快艇在静水中的速度是千米/小时；
（2） 求快艇返回时的函数关系式，写出自变量取值范围；
（3） 快艇出发多长时间，轮船和快艇在返回途中相距12千米？
分析 依题意，折线OABC表示轮船距离甲港的距离y（千米）与轮船出发时间x（小时）之间的函数关系图象，折线DEF表示快艇距离甲港的距离距离y（千米）与轮船出发时间时间x（小时）之间的函数关系图象.（1） 先分别确定轮船顺流航行的速度和快艇逆流航行的速度；（2）只需确定线段EF的函数关系式；（3） 轮船和快艇在返回途中相距12千米有两种情况，一是两者相遇前相距12千米，另是两者相遇后相距12千米。
解 （1） 注意到轮船顺流航行3小时到达乙港，快艇逆流2小时到达甲港，则轮船顺流航行的速度为72÷3=24（米/小时），快艇逆流航行的速度为72÷2=36（千米/小时）。
因为水流速度为2千米/小时，
所以轮船在静水中的速度是24-2=22（千米/小时），快艇在静水中的速度是36+2=38（千米/小时）.
（2） 设线段EF的函数关系式为y=kx+b.
因为快艇返回是顺流，所需时间=72÷（38+2）=

1.8小时，

所以点F的坐标为（

5.8，72）

因为点E的坐标为（4，0）
所以

5.8k+b=724k+b=0

解之，k=40，b=-160
所以线段EF对应的函数关系式为y=40x-160，其中4≤x≤5.8.
（3） 设线段BC的函数关系式为y=mx+n.
因为轮船返回是逆流，所需时间=72÷（22-2）=

3.6小时，

所以点C的坐标为（

7.6，0）

因为点B的坐标为（4，72）
所以

7.6m+n=04m+n=72

解之，m=-20，n=152
所以线段BC对应的函数关系式为y=-20x+152
当轮船和快艇相遇前相距12千米时，有（-20x+152）-（40x-160）=12
解之，x=5
当轮船和快艇相遇后相距12千米时，有（40x-160）-（-20x+152）=12
解之，x=5.4
因为快艇在轮船出发2小时后才从乙港出发，
所以快艇出发3小时或3.4小时，轮船和快艇在返回途中相距12千米。