试论方程《曲线和方程》教学设计网

【教学目标】
知识目标：1、了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；

2、初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3、强化数形结合的思想方法。

能力目标：在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点；
情感目标：通过反例辨析和问题解决，培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。
【教学重点】“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念
【教学难点】怎样利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程
【教学方法】问题引导式教学
【教学过程】

一、问题设计，探究课题

在本章开始时，我们研究过直线的各种方程，讨论了直线和二元一次方程的关系.下面我们进一步研究一般曲线和方程的关系.
教师提出问题1：“直线的方程”是什么？二元一次方程与直线的对应关系是什么？
生：直线的方程是关于x，y的二元一次方程。二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线。
问题2：“圆的方程”是什么？此方程与圆的对应关系是什么？
生：圆的方程是：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）它是关于x，y的二元二次方程。此方程表示一个圆。
问题3：（1）画出方程x-y=0表示的直线，分析直线上的点的坐标与方程的解的关系。
（2）写出以（a，b）为圆心，r为半径的圆的方程，分析圆上的点的坐标与方程的解的关系。
让学生深刻体会如下结论：

1、直线（或圆）上的点的坐标都是方程的解；

2、以这个方程的解为坐标的点都在直线（或圆）上。

即：直线（或圆）上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应关系。
问题4：任意的曲线和二元方程是否都能建立这种对应关系呢？
也即：方程f（x，y）=0的解与曲线C上的点的坐标具备怎样的关系就能用方程f（x，y）=0表示曲线C，同时曲线C也表示着方程f（x，y）=0？为什么要具备这些条件？
师：以上问题就是本节课的内容：曲线和方程（板书课题）。
学生讨论。
师：刚才的讨论中，有的同学提到了应具备关系：“曲线上的点的坐标都是方程的解”；有的同学提到了应具备关系：“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”；还有的同学虽用了不同的提法，但意思不外乎这两个。
问题是上述的两种提法一样吗？它们反映的是不是同一事实？有何区别？为了弄清这些问题，我们来研究下列问题：
问题5：用下列方程表示如图所示的曲线C，对吗？为什么？
让学生回答问题，并加以纠正和总结
师：方程⑴、⑵、⑶都不是曲线C的方程。第⑴题中曲线C上的点不全是方程 的解；例如点A（-2，-2）、B（ ， ）等即不符合“曲线上点的坐标都是方程的解”这一结论。第⑵题中，尽管“曲线上点的坐标都是方程的解”，但是以方程x2-y2=0的解为坐标的点却不全在曲线上；例如D（2，-2）、E（ ， ）等不符合“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论。第⑶题中既有以方程|x|-y=0的解为坐标的点，如G（-3，3）、H（ ， ）等都不在曲线上，又有曲线C上的点，如M（-3，-3）、N（-1，-1）等的坐标不是方程|x|-y=0的解。事实上，⑴、⑵、⑶中各方程所表示的曲线应该是如图所示的3种情况。
师：以上我们观察分析了问题3、5，发现“问题3”中的问题完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程；而“问题5”中的问题不能完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程。如果我们把完整地用方程表示曲线和用曲线表示方程看成“曲线的方程”和“方程的曲线”的话，那么就可以给“曲线的方程”和“方程的曲线”下定义了。
问题6：从充要条件的角度看，仅关系⑴或⑵是“曲线的方程”和“方程的曲线”的什么条件，怎样才能使得它们成为“曲线的方程”和“方程的曲线”的充要条件呢？
生：仅关系⑴或⑵是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，只有两者都满足了才是充要条件。

二、问题解决，巩固课题

问题7：下列各题中，如图所示的曲线C的方程为所列方程，对吗？如果不对，是不符合关系⑴还是关系⑵？
学生回答：⑴错。不符合定义中的关系⑵，即C F但F C。⑵错。不符合定义中的关系⑴，即F C但C F。⑶错。不符合定义中的关系⑴和⑵，即C F且F C。
问题8：（教师启发学生共同完成如下证明）证明与两条坐标轴的距离之积是常数k（k>0）的点的轨迹方程是xy=±k。
师：请同学思考，证明应从何着手？
生：应从以下两方面：（1）轨迹上的点的坐标都满足方程：xy=±k；（2）以方程xy=±k的解为坐标的点都在圆上。
师：（1）中的“点”和（2）中的“解”指的都是有关集合中的全体元素，怎样解决全体问题？
师：（学生思考片刻后）用“任意一个”代表“全体”是数学证明中常用的方法。（请同学们完成证明过程，同桌间交流，参照课本证明纠正错误，完善证题过程，加强证明题的严密性。）
三、小结
本节课我们通过实例的研究，掌握了“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义，在领会定义时，要牢记关系⑴、⑵两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性。
曲线和方程之间一一对应关摘自：毕业论文翻译www.618jyw.com
系的确立，进一步把“曲线”与“方程”统一了起来，在此基础上，我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题。
四、作业

1、教材37页，练习题2题。

2、思考题：如果两条曲线的方程F1（x，y）=0和F2（x，y）=0的交点为M（x0，y0），求证：方程F1（x，y）+λF2（x，y）=0表示的曲线也经过点M。（λ为任意常数）