有关于不等式例谈不等式证明

近年来高考解答题常渗透着不等式证明的内容。而不等式的证明又是高中数学的一个难点，它可以考查学生逻辑思维能力，分析问题、解决问题的能力。不等式证明的题目涉及的知识点多，纵横联系广泛，方法灵活多变，技巧性强，所以，学生学习时感到比较困难。不等式证明的基本方法有：比较法、综合法、分析法，此外还有放缩法、反证法和数学归纳法等。现笔者举例探讨不等式的证明方法。
一、比较法
1.差比法。作差法：M＞N或M＝N或M＜N，即证明M－N＞0或M－N＝0或M－N＜0；作比法：先建立差式，再将差式变形为积、商形式或平方和形式，常用的方法有通分、配方和分解因式等。
例

1.已知a＜b＜c，求证a2b＋b2c＋c2a＜a2c＋b2a＋c2b

证明：a2b＋b2c＋c2a-（a2c＋b2a＋c2b）
=（a2b－b2a）+（b2c－a2c）+（c2a－c2b）
=ab（a－b）+c（b+a）（b-a）+c2（a-b）
=（a－b）〔a（b-c）-c（b-c）〕
=（a－b）（b-c）（a-c）＜0
所以，a2b＋b2c＋c2a＜a2c＋b2a＋c2b。
例

2.已知a＞b＞c＞0，求证aabbcc＞（abc）■

证明：lgaabbcc－lg（abc）■
=alga+blgb+clgc－■　（lga+lgb+lgc）
=■〔（a－b）+　（a-c）〕lga+■〔（　b-a）+　（b-c）〕lgb
+■〔（c-a）+　（b-c）〕lgc
=■　lg■+■　lg■　+■　lg■
又因为a＞b＞c＞0，所以a－b＞0，■＞1
lg■＞0，■lg■＞0
同理，■lg■＞0，■lg■＞0
所以，原式lgaabbcc－lg（abc）■＞0，
所以，aabbcc＞（abc）■
2.商比法：若M＞0，要证明M＞N，只需证明■＞1，即首先建立商式，再进行商式变形，证明商值大于1。
例

3.已知a＞b＞c＞0，求证aabbcc＞（abc）■

证明：因为aabbcc/（abc）■
=a■b■c■
=a■b■c■
=　（■）■·（■）■·（■）■
又因为a＞b＞c＞0，所以a－b＞0，■＞1
所以，（■）■＞1
同理可证：（■）■＞1，（■）■＞1
源于：论文范例www.618jyw.com
所以，aabbcc＞（abc）■
二、综合法
从已知条件或基本不等式出发，运用不等式的有关性质推导出所要证明的不等式。常用的基本不等式有：
（1）a2≥0（a∈R），（a±b）2≥0（a，b∈R）
（2）a，b∈R，a2+b2≥±2ab，a2+b2≥2|ab|
（3）a，b，c∈R+时，有a+b≥2■（当且仅当a=b时，等号成立），a+b+c≥3■（当且仅当a=b=c时，等号成立）
（4）当a，b，c∈R时，有a2+b2+c2≥■（a+b+c）2　≥ab+ac+bc（当且仅当a=b=c时，等号成立）
例

4.若x＞0，y＞0，x+y=1，求证：（1+■）（1+■）≥9

证明：（1+■）（1+■）=（1+■）（1+■）=（2+■）（2+■）≥5+4=9
所以，（1+■）（1+■）≥9
三、分析法
从求证的不等式出发，寻求此不等式成立的充分条件，只要使不等式成立的条件具备，就可断定不等式成立，一种“执果索因”的方法，运用时注意格式。要证明不等式A，只需证不等式B，又要证C，要证C，又要证D，即证不等式D成立。由不等式D成立，推出不等式A成立。
例

5.已知a＞b＞c＞0，求证：■＜■-■＜■

证明：因为a＞b＞c＞0
所以■＞1＞■？圯■＞1＞■
？圯1+　■＜2＜1+■
？圯■＜1＜　■
？圯■＜■-■＜　■（a＞b＞c＞0）
？圯■＜（■-■）2＜■
？圯■＜■＜■
？圯■＜■-■<■
所以，原不等式成立

四、“放”“缩”技巧

在不等式的证明中，“放”“缩”是常用的推证技巧，“放”和“缩”的方向和量的大小都是由分析得出的。
例6.求证当？琢1，？琢2，？琢3∈[0，？仔]时，有sin？琢1+sin？琢2+sin？琢3≤3sin■。
证明：sin？琢1+sin？琢2+sin？琢3+sin■
=2sin■·cos■+2sin■·cos■≤2（sin■+sin■）
=4sin（■+■）·cos（■-■）≤4　sin■
所以sin？琢1+sin？琢2+sin？琢3≤3sin■
此题是利用函数的单调性，变换公式的分母（或分子），还有添加或舍去某些项，利用有界性将不等式放大或缩小。用“放缩法”证明不等式，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。
五、反证法
从假设求证不成立入手，推出与已知条件和定理相矛盾的结论，从而判定假设错误，求证结论成立。
例7.已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞0，求证：a＞0，b＞0，c＞0。
下面用反证法证明：
证明：假设a＜0，由abc＞0，知bc＜0
又a+b+c＞0得b+c＞-a＞0
于是ab+bc+ac=bc+a（b+c）＜0与已知相矛盾
故a＞0
同理：b＞0，c＞0。

六、数学归纳法

主要用来证明一些与自然数有关的不等式。
例8.当n＞1，n∈N时，求证：■+■+■+…+■>■
证明：

1.当n=2时，左=■+■+■+■=■＞■

2.假设n=k时，命题成立。即：

■+■+■…+■>■
当n=k+1时，有：
左=■+■+■…+■+■+■+■
=（■+■+■…+■）+（■+■+■-■）>■+（■+■+■-■）=■+■-■=■
所以，当n=k+1时，命题成立。
综合

1、2得：当n＞1，n∈N时，不等式成立。

总之，不等式的证明，不仅需要很丰富的经验，还必须掌握不等式的“因式分解”“配方”“拆、并、添、凑、配”“适当放缩”“函数方法”等多种变换技巧，综合运用数学知识才能达到证明的目的。
（责编　高伟）