研讨及其应用谈“等时圆”模型及其运用

物理模型的建立在物理解题有至关重要的作用，加强对物理模型分析以及题型的归纳对于高三复习中大有裨益。下面谈谈"等时圆"系列模型。

1."等时圆"模型的建立

模型1：物体从竖直圆环的顶点沿任何弦由静止开始无摩擦下滑到圆周上，所用的时间都相等。（如图甲）
模型2：小球静止从圆上的各个位置沿光滑弦轨道滑下，滑到圆的底端的时间相等。（如图乙）

2."等时圆"模型的特点

⑴小球从圆的顶端开始沿不同光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。
⑵小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。
⑶竖直圆周情况，沿不同的光滑弦轨道运动的时间等于小球沿过顶端（底端）的直径自由落体的时间。

3."等时圆"模型的等时性证明

设某一条弦与水平方向的夹角为 ，圆的直径为 （如下图）。根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为 ，位移为 ，所以运动时间为
即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。

4.等时圆在解题中的典型应用

应用1：比较或计算运动时间
如图所示，AB和CD是两条光滑斜槽，它们各自的两端分别位于半径为R和r的两个相切的竖直圆上，并且斜槽都通过切点P.设有一个重物先后沿斜槽从静止出发，从A滑到B和从C滑到D，所用的时间分别等于t1和t2，则t1和t2之比为（ ）
A.2∶1 B.1∶1 C.3∶1 D.1∶2
解析：根据对等时圆的理解和模型的建立很容易知道时间相等且都等于
则选B
例2、如图上所示，Oa、Ob、Oc是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c四点位于同一圆周上，d点为圆周的最高点，c为最低点，每根杆上套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环都从图中O点无初速释放，用t

1、t2 、t3、依次表示滑到a、b、c所用的时间，则

A.t1=t2=t3 B. t1>t2>t3
C.t1t2
解析：如果不假思索，套用结论，就会落入"陷阱"，错选A。必须注意，"等时圆"的适用条件是：光滑斜面上初速为零的匀加速直线运动，且运动起点（或终点）应在"等时圆"的最高（或最低）点。题图中O不是最高点，题设圆不是"等时圆"。现以O点为最高点，取合适的竖直直径Oe，作"等时圆"交Ob于b，如图4所示，显然，O到f、b、g、e才是等时的，比较图示位移Oa>Of，Oc应用三：确定运动轨迹和位置
例3、如图所示，AB是一个倾角为θ的输送带，P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与AB输送带间建立一管道（假设其光滑），使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？
解析：借助"等时圆"理论，可以以过P点的竖直线为半径作圆，要求该圆与输送带AB相切，如图所示，C为切点，O为圆心.显然，沿着PC弦建立管道，原料从P处到达C点处的时间与沿其他弦到达"等时圆"的圆周上所用时间相等.因而，要使原料从P处到达输送带上所用时间最短，需沿着PC 弦建立管道.由几何关系可得PC与竖直方向间的夹角等于θ/2.
应用四：确定半径
例4 有一条干涸的水渠，其底部是半径很大（约几十米）的圆弧，两位同学在水渠底部溜旱冰， 他们带有旱冰鞋、秒表、长约1米的光滑木板，在溜冰间隙他们想用现有器材估测该水渠底部的圆 弧半径，请你帮助他们设计测量的方案来？
解析：构造竖直面内等时圆模型来处理，将长木板的一端搁在水渠底部的最低点，另一端靠在水渠 底部的圆弧上，那么在长木板与竖直方向的铅垂线所决定的平面内可作一个以长木板为弦的圆，此 时旱冰鞋在光滑长木板上滑动的时间与重物自由下落直径所用的时间是相等的，再运用相应的规律 进行求解。
解答：用旱冰鞋找出水渠的最低点后，将长木板的一端搁在水渠底部的最低点，另一端靠在水渠底 部的圆弧上，用秒表测出旱冰鞋从长木板一端滑到另一端的时间t，因等时圆内物体沿任一光滑弦 滑动的时间都是相同的，故有
总之，等时圆模型在高中物理习题中有广泛的运用，通过等时圆模型的理解，可以加强对学生 对物理模型的理解，通过也能明确物理思维方法在物理解题中的重要性，在物理学习过程中渗透 摘自：毕业论文提纲范文www.618jyw.com
更多的是去"悟"理。这样才能不变应万变。真正领略学习物理的奇妙之处！