阐述数列浅谈高考中数列不足

数列是高考的重点内容之一 ，近几年高考中数列问题的难度有所下降，已从原来的压轴题逐渐变成中等题，较易题，大题一般出现在17-20题之间，主要考察两个特殊数列的定义、等差和等比通项公式、前n项和及性质。解决有关数列的问题应首先考虑定义和基本量法，记准记熟常规法，做熟做好常规题，现通过几道高考题将常用方法归纳如下：

一、通项公式的求法

1.基本量法

在等差和等比数列中，已知五个元素a1，an，d（q），n，sn中的三个，运用方程的思想，可求出其余两个，本着“化多为少”的原则，抓住首项a1和公差d（或公比 q）。
例1 （2012年山东）在等差数列{an}中，a3+a4+a5=84，a9=73，求数列{an}的通项公式。
分析：将a3，a4，a5，a9用a1和d公差表示出来，利用方程解出首项和公差。
解：设数列{an}的首项为a1，公差为d，则由题意得：a3+a4+a5=a1+2d+a1+3d+a1+4d=3a1+9d=84
则a1+d=28，a9=a1+8d=73，解得a1=1，d=9
从而得：an=1+9（n-1）=9n-1
点评：利用基本量法解决数列问题是最基本最常用的方法，也是数列求通项求和的首选方法。

2.已知数列的前n项和sn求通项

例2 已知sn是数列{an }的前n项和，且sn=n2+1，求数列{an }的通项公式。
分析：由sn求通项，可利用公式：an=s1（n=1）sn-sn-1（n≥2）
解：当n=1时，a1=s1=2；当n≥2 时，an=sn-sn-1=n2+1-（n-1）2-1=2n-1
当n=1时，a1=2不适合上式，
因而得an=2（n=1）2n-1（n≥2）
又如（2007年山东理）已知数列{an} 满足a1+3a2+32a3 +33a4+…+3n-1an= （n∈N+ ），求数列{an}的通项公式。
分析：通过观察发现等式左边是数列{3n-1an}的前n项和，可采用 求出其通项，再进一步求{an}的通项。
解：因为a1+3a2+32a3 +33a4+…+3n-1an=
a1+3a2+32a3 +33a4+…+3n=2an-1= （n≥2）
两式相减得；3n-1an= 所以an= （n≥2）
经检验n=1时也满足上式，所以an= （n∈N）.
点评：利用sn求an，可分三步：①当n=1时，s1=a1， ②当n≥2时， 中国论文中心www.618jyw.com
an=sn_sn-1③验证n=1时是否适合，适合，合起来写，不适合，分段写。

3.累加或累乘

形如：an+1=an+f（n）采用累加法。an+1=an·f（n）采用累乘法。
例3 （2010年新课标全国卷17） 设数列满足a1=2，an+1_an=3×22n-1。
（1）求数列{an}的通项公式。
（2）略。
分析：已知相邻两项的差是一个关于n 的式子，可采用累加法。
解：由已知得：a2-a1=3×21
a3-a2=3×23
a4-a3=3×25
……
an_an-1=3×22n=3
将上式相加得
an_a1=3×（21+23+25+…+22n-3）= 22n-1-2
而a1=2，所以数列{an}的通项公式为an=22n-1
又如，数列{an}满足a1=1， = ，求数列的通项公式。
分析：相邻两项的比值是一个关于n的式子，可采用累乘法。
解：因为 =
所以 × × ×… = × × ×… 所以 = 又知a1=1 所以an=

4.倒数法：

形如an= 的递推数列可以采用倒数法求通项。
例4 （2008陕西文20）数列{ an}满足 。
（1）求数列{ an}的通项公式。（2）略。
解：因为a1= ，an+1= 所以 = = + 即 -1= ×（ -1）
所以{ -1 }是一个以 为公比的等比数列，且首项 -1= -1= ，
从而， -1= ×（ ）n-1= ，即：an=

二、数列前n项和的求法：

1.公式法：已知数列是等差或等比数列，根据已知求出首项a1，公差d（或公比q），再利用前n项和公式求得。
例5 （2010北京卷）已知数列{an }为等差数列，a3 =-6，a6=0
（1）略。 （2）若等比数列{ bn}满足b1=-8，b2=a1+a2+a3求{bn}的前n项和。
解：由已知得：数列{an }的首项a1=-10，d=2，等比数列{ bn}的首项b1=-8，q=3 所以其前n项和sn= 4-4×3n.
2.分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减。如数列an=2n+3n的前n项和的法。
例6 （2012 山东20）在等差数列{an}中，a3+a4+a5=84，a9 =73（1）求数列{an }的通项公式。（2）对任意m∈N，将数列{an }中落入区间（9m，92m）内的项的个数记为bm，求数列{ bm}的前m项和
分析：利用基本量法求出等差数列{an }的通项公式，再根据题意确定出数列{ bm}满足的关系，最后采取分组求和。 源于：大学毕业论文www.618jyw.com