浅论几何几何动画及其运用
更新时间：2024-02-23
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摘 要：《几何画板》作为一个常用的制图软件，对数学教师来说是“取之不尽，用之不竭”的教学工具，本文简单地阐述一下几何画板在教学过程中的应用.
关键词：几何图形；几何动画；多媒体应用；类比思想
随着多媒体设备在中小学教学中的渐渐普及，数学课亦变得多姿多彩了. 它不单单拘泥于黑板白字，通过一些多媒体技术，一些以前难以用黑板表现出来的数学的美，现在可以轻而易举地在学生面前活灵活现地表现出来了. 什么是《几何画板》，什么是几何动画呢？《几何画板》是作出静止的几何图形和活动的几何图形的重要工具，而其中活动的图形就是几何动画. 《几何画板》作为一个中学教师常用的制图软件，对数学教师来说是“取之不尽，用之不竭”的教学工具，它可以把高度抽象的数学知识直观显示出来，有助于学生理解概念的本质属性，促进学生“构建”数学概念和数学知识，帮助学生理解数学概念和性质，解决数学问题，探索数学知识，深刻揭示数学思想方法，它有利于培养学生数学空间想象力，激发学生数学探索创新精神，提高他们的学习动机和兴趣. 下面就简单地来阐述一下几何画板在教学过程中的应用.
[?] 利用几何画板进行引入
例1 弦切角的引入
在引入弦切角的时候，我们可以利用几何画板，通过观察线和点的运动，从而得出弦切角的定义.
在普通高中课程标准实验教科书选修4-1第32页，是这样引入的：以点D为中心旋转的直线DE，同时保证直线BC和DE的交点同时落在圆周上，当DE变为圆的切线时（如图2），我们能发现∠EDB=∠A. 在图1中，根据圆内接四边形的性质有∠ECB=∠A. 在图2中，∠ECB=∠A依旧成立.
用这种方法引入弦切角定理，既有利于从圆内接四边形通过运动，使“圆内接四边形的外角等于内对角”性质过渡到“弦切角等于它所夹弧所对的圆周角”，又有利于理解它的性质意义和判定方法.
这个运动过程教师很难用黑板展示出来，但利用几何画板就很容易了. 我们利用几何画板的圆工具先作出一个圆（见图1），然后再利用线段工具作出四边形的三边，并且使线段端点都在圆上，分别用文本工具将这些点标记为A，B，C，D；接着长按线段直线工具选中射线工具，以D点为端点，作出射线DE.根据圆内接四边形的性质有∠ECB=∠A；最后我们将射线DE绕A点逆时针旋转，当C，D重合的时候，得到图2的图形. 此时，∠ECB=∠A依旧成立，同时DE与圆相切，则∠ECB为圆的弦切角，这样就很自然地引出了弦切角定理，学生也能更加自然地接收这个新知识.
[?] 利用几何画板证明
例2 （2012浙江义乌）在锐角三角形ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A′B′C′.
（1）如图3，当点C′在线段CA的延长线上时，求∠CC′A′的度数；
（2） 如图4，连结AA′，CC′，若△ABA′的面积为4，求△CBC′的面积；
（3） 如图5，点E为线段AB的中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是P′，求线段EP′的最大值和最小值.
对于问题1和问题2，学生都能够比较轻松地利用我们学过的知识来解答，但是问题3比较有难度，因为点P的运动涉及两点，一是P点在线段AC上作直线运动，另外P点还绕B点做圆周运动，这种时候学生很难把握住动与静之间的关系，缺乏对点P运动过程的准确剖析，从而思索许久也没有头绪.
解答这道题目的关键是如何让学生理解这个运动过程，但往往传统的黑板教学很难将这个过程淋漓尽致地展现在学生面前，而且对教师作图有较高要求，往往花费很大的气力，效果也不佳. 利用几何画板就可以轻松地将这个过程展现在学生面前，而且能达到较好的教学效果.
我们再回头看看第3问，在这种情况下，我们可以“以退为进”，利用几何画板，首先利用线工具作出△ABC，在线段AC上作出P，并作出AB中点E，先使P固定在AC上的一个位置，连结BP，这里我们考虑到其对应点P′应在以B为圆心，BP为半径的圆上，所以我们利用圆工具，以B为圆心，BP为半径作圆，此时☉B的大小因P点位置的变化而变化. 再在圆上作出P′，使其可以在☉B上运动，连结P′B，P′E就得到图6，我们直观猜想：当B，E，P′三点共线，且P′与E在点B同侧时，EP′最短；当B，E，P′三点共线时，且P′与E在点B异侧时，EP′最长. 当点P′在非上述位置时，由三角形的三边关系可得
≤EP′≤BP′+BE，所以当点P在AC上某一固定位置时，EP′的最小值为BP′-2，最大值为BP′+2. 又BP′=BP，所以当点P在AC上运动时，EP′的最小值为BP-2，最大值为BP+2，而≤BP≤5，所以EP′的最小值为-2，最大值为7.
因此，教师在讲解这道题的摘自：毕业论文结论怎么写www.618jyw.com
时候，可以借助几何画板使P点和P′点运动起来，这时对学生来说比较抽象的运动就变得生动形象起来，便能很好地理解，教师叙述上的问题和学生理解上的问题便能迎刃而解.
[?] 利用几何画板研究
例3 已知△ABC，AB=a，AC=b，分别以AB，BC，AC为边作正方形ABMN，BCDE，ACFG，连结ND，EF，MG.
（1）试证明不管∠BAC为何值，S△AMG=S△CEF=S△BDN；
（2）∠BAC为何值时，S六边形DEFGMN有最大值和最小值.
分析：可以设BC=c，对于题（1），我们可以提出问题串：①如何求三角形面积，用到什么公式？②对于这个公式，需要知道一些什么条件来求？③如何构建桥梁，将三个三角形面积联系起来？④最后怎么将全部的点贯穿起来，证明结论.
对于这个图形，我们可以以点A为圆心，利用几何画板，作两个分别以a，b为半径的同心圆，分别在两个圆上选取两点，记为B，C，这样我们就作出了符合题目条件的三角形，且无论B，C处于什么位置，AB，AC的长度总为一固定值.（1）我们先考虑到三角形面积公式，有S=，还有S=，等等，这里观察题目给出的条件，应该选择第二个. 利用题目的已知条件，我们发现S△AMG=AM·AGsin∠MAG=absin·（π-∠BAC）=absin∠BAC=S△ABC，同理可得S△BDN=S△ABC，S△CEF=S△ABC，则有S△ABC=S△CEF=S△AMG=S△BDN，则第一题得证.
（2）第二题我们可以将六边形面积看成多个图形的组合，结合题1得到的结论，我们就有
S六边形DEFGMN=S△ABC+S△AMG+S△CEF+S△BDN+S四边形ABMN+S四边形ACFG+S四边形BCED=4S△ABC+S四边形ABMN+S四边形ACFG+S四边形BCDE=4×ab·sin∠BAC+a2+b2+c2=2absin·∠BAC+a2+b2+c2.
又由余弦定理得c2=a2+b2-2ab·cos∠BAC，则S六边形DEFGMN=2absin∠BAC+a2+b2+a2+b2-2abcos∠BAC=2a2+2b2+2ab·（sin∠BAC-cos∠BAC）=2a2+2b2+2·ab
sin∠BAC-·cos∠BAC
=2a2+2b2+2absin
∠BAC-
.
由已知条件可得，∠BAC∈[0，π]，所以∠BAC=时，S=2a2+2b2+2·ab为最大值；∠BAC=0时，S=a2+b2-2ab为最小值.
这是我们常规的解题思路，但是对于题（1）和题（2），我们可以利用几何画板将∠BAC的变化过程展示出来，更有助于学生理解. 特别是第2题，我们可以先猜后证. 利用几何画板的度量工具，将六边形DEGFMN的面积度量出来；然后拖动点A或点B，使其在圆周上运动，来改变∠BAC的度数. 学生通过这个几何动画，可以直观地观察到，当∠BAC 为时，此时六边形DEGFMN的面积最大；当∠BAC为0时，此时六边形DEGFMN的面积最小. 教师在此处利用几何画板，运用先猜后证的方法，便能为这道题的讲解锦上添花.
[?] 几何画板的应用
学习圆锥曲线这部分知识的时候，学生往往非常烦恼，总是有很多学生容易混淆三个曲线的性质，张冠李戴. 教师要怎么做才能让学生印象深刻，将这些曲线的性质牢牢地记住，理解透彻，并且不忘记呢？一般教师在引入椭圆曲线的时候只是简单地介绍一下“椭圆曲线上点的性质是到两焦点的距离之和是常数，然后我们可以用这种方法作出椭圆曲线”，接下来就开始了枯燥的性质讲解，这种知识接收方式往往是学生不喜欢的一种. 我们今天就从如何作出椭圆曲线着手，在作出椭圆曲线的同时，将椭圆的性质自然地引出来，让学生在无形中便记住了椭圆的性质. 下面以椭圆曲线为例，用一道题目引入椭圆.
例4 如图8，☉O的半径为定长r，A是圆外一点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线L和直线OP相交于Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？（高中新课标选修2-1 第62页）
我们利用几何画板，可以作出Q点轨迹.首先，利用圆工具作出☉O，再在圆内任取一点A，在圆周上任取一点P，连结PA，PO，过PA中点M作PA的垂线，交PO于点Q，此时我们追踪点Q，生成P的动画，我们会发现得到一条椭圆曲线.如图8所示，用这样的方法作出的椭圆曲线，会迅速吸引学生的注意力，激发学生的好奇心. 学生不禁要问，为什么这样子就可以得到椭圆曲线呢？从而充分调动学生的积极性，为接下来的椭圆的后续学习打下良好的心理基础.
那接下来教师便可以解释为什么用这种方法可以得到椭圆曲线. 连结AQ，AO，得到图9，稍微观察一下便知道因为MQ是PA的中垂线，所以QA=QP，则有QA+QO=PQ+OP=r. 因此我们可以得出，利用几何画板作出的这个椭圆应该是以O，F为焦点，且椭圆上点到两焦点的距离和是一个常数，对于这个曲线，就等于☉O的半径r. 利用这种方法，可以让学生深刻地记住“椭圆上点到两焦点的距离为定值”这一性质，同时激发学生兴趣，提升数学的趣味性，一举两得.
上面几个例题只是很小一部分利用几何动画的例子，在中学数学教学上我们都可以使用几何动画来辅助教学. 引入多媒体技术，利用《几何画板》，丰富了教学模式，实现了过程教学，可以提高学生学习数学的兴趣，往往能达到事半功倍的教学效果. 当教学法研究进入“山重水复疑无路”的境地，加入几何动画，就会出现“柳暗花明又一村”的新局面. 因此，数学教师要研究几何动画，只有二者结合，才能开出灿烂之花，结出丰硕之果.
关键词：几何图形；几何动画；多媒体应用；类比思想
随着多媒体设备在中小学教学中的渐渐普及，数学课亦变得多姿多彩了. 它不单单拘泥于黑板白字，通过一些多媒体技术，一些以前难以用黑板表现出来的数学的美，现在可以轻而易举地在学生面前活灵活现地表现出来了. 什么是《几何画板》，什么是几何动画呢？《几何画板》是作出静止的几何图形和活动的几何图形的重要工具，而其中活动的图形就是几何动画. 《几何画板》作为一个中学教师常用的制图软件，对数学教师来说是“取之不尽，用之不竭”的教学工具，它可以把高度抽象的数学知识直观显示出来，有助于学生理解概念的本质属性，促进学生“构建”数学概念和数学知识，帮助学生理解数学概念和性质，解决数学问题，探索数学知识，深刻揭示数学思想方法，它有利于培养学生数学空间想象力，激发学生数学探索创新精神，提高他们的学习动机和兴趣. 下面就简单地来阐述一下几何画板在教学过程中的应用.
[?] 利用几何画板进行引入
例1 弦切角的引入
在引入弦切角的时候，我们可以利用几何画板，通过观察线和点的运动，从而得出弦切角的定义.
在普通高中课程标准实验教科书选修4-1第32页，是这样引入的：以点D为中心旋转的直线DE，同时保证直线BC和DE的交点同时落在圆周上，当DE变为圆的切线时（如图2），我们能发现∠EDB=∠A. 在图1中，根据圆内接四边形的性质有∠ECB=∠A. 在图2中，∠ECB=∠A依旧成立.
用这种方法引入弦切角定理，既有利于从圆内接四边形通过运动，使“圆内接四边形的外角等于内对角”性质过渡到“弦切角等于它所夹弧所对的圆周角”，又有利于理解它的性质意义和判定方法.
这个运动过程教师很难用黑板展示出来，但利用几何画板就很容易了. 我们利用几何画板的圆工具先作出一个圆（见图1），然后再利用线段工具作出四边形的三边，并且使线段端点都在圆上，分别用文本工具将这些点标记为A，B，C，D；接着长按线段直线工具选中射线工具，以D点为端点，作出射线DE.根据圆内接四边形的性质有∠ECB=∠A；最后我们将射线DE绕A点逆时针旋转，当C，D重合的时候，得到图2的图形. 此时，∠ECB=∠A依旧成立，同时DE与圆相切，则∠ECB为圆的弦切角，这样就很自然地引出了弦切角定理，学生也能更加自然地接收这个新知识.
[?] 利用几何画板证明
例2 （2012浙江义乌）在锐角三角形ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A′B′C′.
（1）如图3，当点C′在线段CA的延长线上时，求∠CC′A′的度数；
（2） 如图4，连结AA′，CC′，若△ABA′的面积为4，求△CBC′的面积；
（3） 如图5，点E为线段AB的中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是P′，求线段EP′的最大值和最小值.
对于问题1和问题2，学生都能够比较轻松地利用我们学过的知识来解答，但是问题3比较有难度，因为点P的运动涉及两点，一是P点在线段AC上作直线运动，另外P点还绕B点做圆周运动，这种时候学生很难把握住动与静之间的关系，缺乏对点P运动过程的准确剖析，从而思索许久也没有头绪.
解答这道题目的关键是如何让学生理解这个运动过程，但往往传统的黑板教学很难将这个过程淋漓尽致地展现在学生面前，而且对教师作图有较高要求，往往花费很大的气力，效果也不佳. 利用几何画板就可以轻松地将这个过程展现在学生面前，而且能达到较好的教学效果.
我们再回头看看第3问，在这种情况下，我们可以“以退为进”，利用几何画板，首先利用线工具作出△ABC，在线段AC上作出P，并作出AB中点E，先使P固定在AC上的一个位置，连结BP，这里我们考虑到其对应点P′应在以B为圆心，BP为半径的圆上，所以我们利用圆工具，以B为圆心，BP为半径作圆，此时☉B的大小因P点位置的变化而变化. 再在圆上作出P′，使其可以在☉B上运动，连结P′B，P′E就得到图6，我们直观猜想：当B，E，P′三点共线，且P′与E在点B同侧时，EP′最短；当B，E，P′三点共线时，且P′与E在点B异侧时，EP′最长. 当点P′在非上述位置时，由三角形的三边关系可得
≤EP′≤BP′+BE，所以当点P在AC上某一固定位置时，EP′的最小值为BP′-2，最大值为BP′+2. 又BP′=BP，所以当点P在AC上运动时，EP′的最小值为BP-2，最大值为BP+2，而≤BP≤5，所以EP′的最小值为-2，最大值为7.
因此，教师在讲解这道题的摘自：毕业论文结论怎么写www.618jyw.com
时候，可以借助几何画板使P点和P′点运动起来，这时对学生来说比较抽象的运动就变得生动形象起来，便能很好地理解，教师叙述上的问题和学生理解上的问题便能迎刃而解.
[?] 利用几何画板研究
例3 已知△ABC，AB=a，AC=b，分别以AB，BC，AC为边作正方形ABMN，BCDE，ACFG，连结ND，EF，MG.
（1）试证明不管∠BAC为何值，S△AMG=S△CEF=S△BDN；
（2）∠BAC为何值时，S六边形DEFGMN有最大值和最小值.
分析：可以设BC=c，对于题（1），我们可以提出问题串：①如何求三角形面积，用到什么公式？②对于这个公式，需要知道一些什么条件来求？③如何构建桥梁，将三个三角形面积联系起来？④最后怎么将全部的点贯穿起来，证明结论.
对于这个图形，我们可以以点A为圆心，利用几何画板，作两个分别以a，b为半径的同心圆，分别在两个圆上选取两点，记为B，C，这样我们就作出了符合题目条件的三角形，且无论B，C处于什么位置，AB，AC的长度总为一固定值.（1）我们先考虑到三角形面积公式，有S=，还有S=，等等，这里观察题目给出的条件，应该选择第二个. 利用题目的已知条件，我们发现S△AMG=AM·AGsin∠MAG=absin·（π-∠BAC）=absin∠BAC=S△ABC，同理可得S△BDN=S△ABC，S△CEF=S△ABC，则有S△ABC=S△CEF=S△AMG=S△BDN，则第一题得证.
（2）第二题我们可以将六边形面积看成多个图形的组合，结合题1得到的结论，我们就有
S六边形DEFGMN=S△ABC+S△AMG+S△CEF+S△BDN+S四边形ABMN+S四边形ACFG+S四边形BCED=4S△ABC+S四边形ABMN+S四边形ACFG+S四边形BCDE=4×ab·sin∠BAC+a2+b2+c2=2absin·∠BAC+a2+b2+c2.
又由余弦定理得c2=a2+b2-2ab·cos∠BAC，则S六边形DEFGMN=2absin∠BAC+a2+b2+a2+b2-2abcos∠BAC=2a2+2b2+2ab·（sin∠BAC-cos∠BAC）=2a2+2b2+2·ab
sin∠BAC-·cos∠BAC
=2a2+2b2+2absin
∠BAC-
.
由已知条件可得，∠BAC∈[0，π]，所以∠BAC=时，S=2a2+2b2+2·ab为最大值；∠BAC=0时，S=a2+b2-2ab为最小值.
这是我们常规的解题思路，但是对于题（1）和题（2），我们可以利用几何画板将∠BAC的变化过程展示出来，更有助于学生理解. 特别是第2题，我们可以先猜后证. 利用几何画板的度量工具，将六边形DEGFMN的面积度量出来；然后拖动点A或点B，使其在圆周上运动，来改变∠BAC的度数. 学生通过这个几何动画，可以直观地观察到，当∠BAC 为时，此时六边形DEGFMN的面积最大；当∠BAC为0时，此时六边形DEGFMN的面积最小. 教师在此处利用几何画板，运用先猜后证的方法，便能为这道题的讲解锦上添花.
[?] 几何画板的应用
学习圆锥曲线这部分知识的时候，学生往往非常烦恼，总是有很多学生容易混淆三个曲线的性质，张冠李戴. 教师要怎么做才能让学生印象深刻，将这些曲线的性质牢牢地记住，理解透彻，并且不忘记呢？一般教师在引入椭圆曲线的时候只是简单地介绍一下“椭圆曲线上点的性质是到两焦点的距离之和是常数，然后我们可以用这种方法作出椭圆曲线”，接下来就开始了枯燥的性质讲解，这种知识接收方式往往是学生不喜欢的一种. 我们今天就从如何作出椭圆曲线着手，在作出椭圆曲线的同时，将椭圆的性质自然地引出来，让学生在无形中便记住了椭圆的性质. 下面以椭圆曲线为例，用一道题目引入椭圆.
例4 如图8，☉O的半径为定长r，A是圆外一点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线L和直线OP相交于Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？（高中新课标选修2-1 第62页）
我们利用几何画板，可以作出Q点轨迹.首先，利用圆工具作出☉O，再在圆内任取一点A，在圆周上任取一点P，连结PA，PO，过PA中点M作PA的垂线，交PO于点Q，此时我们追踪点Q，生成P的动画，我们会发现得到一条椭圆曲线.如图8所示，用这样的方法作出的椭圆曲线，会迅速吸引学生的注意力，激发学生的好奇心. 学生不禁要问，为什么这样子就可以得到椭圆曲线呢？从而充分调动学生的积极性，为接下来的椭圆的后续学习打下良好的心理基础.
那接下来教师便可以解释为什么用这种方法可以得到椭圆曲线. 连结AQ，AO，得到图9，稍微观察一下便知道因为MQ是PA的中垂线，所以QA=QP，则有QA+QO=PQ+OP=r. 因此我们可以得出，利用几何画板作出的这个椭圆应该是以O，F为焦点，且椭圆上点到两焦点的距离和是一个常数，对于这个曲线，就等于☉O的半径r. 利用这种方法，可以让学生深刻地记住“椭圆上点到两焦点的距离为定值”这一性质，同时激发学生兴趣，提升数学的趣味性，一举两得.
上面几个例题只是很小一部分利用几何动画的例子，在中学数学教学上我们都可以使用几何动画来辅助教学. 引入多媒体技术，利用《几何画板》，丰富了教学模式，实现了过程教学，可以提高学生学习数学的兴趣，往往能达到事半功倍的教学效果. 当教学法研究进入“山重水复疑无路”的境地，加入几何动画，就会出现“柳暗花明又一村”的新局面. 因此，数学教师要研究几何动画，只有二者结合，才能开出灿烂之花，结出丰硕之果.
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