对于向量向量模型在中学数学中运用

摘要：向量模型在中学数学中应用应注意的问题及其教育价值。
关键词：向量模型；中学数学；应用
1002-7661（2012）22-00-321-01

一、向量的应用

1、三角函数中向量的运用

证明正余弦的两角和与差公式，是向量数量积的一个直接运用，较之传统证明方法更加简洁明了。
例

1、利用向量方法证明公式：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

证明：如图1，在单位圆中作向量 ，它们与x轴正向的夹角分别是α、β，则点a的坐标是 （cosα，摘自：毕业论文题目www.618jyw.com
sinα） ，点b的坐标是 （cosβ， sinβ） ，
则 · = cosαcosβ+sinαsinβ
又 ·= |a|·|b| cos（α-β）
则 等式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ? 成立。
可见，从向量角度解决三角函数方面的问题更方便快捷。

2、平面几何中向量的运用

向量方法是借助向量的几何意义，把问题转化为向量的计算，通过向量计算达到求解目的，用向量方法解决几何问题，一方面体现向量的运用性，另一方面能在运用中加深对向量知识的理解与掌握。
例

2、求证：直径所对的圆周角是直角。

证明：令AB 为圆o直径，即AB=2
o为AB中点
即所以直径所对的圆周角为直角
解：建立如图直角坐标系，从而建立向量模型。
不妨设A（-1，0），B（1，0），P（x，y）
则（x+1，y），（x-1，y）
所以·=（x-1）（x+1）+y·y=0
即PA⊥PB
即为所证。
由于此例只须通过向量的运算便可得出结论，学生得到很大的启发，既巩固了向量运算的方法，又有了运用向量解决数学问题的体验，从而提高学习数学的兴趣。

3、在解析几何中向量的运用

高考命题中对知识综合性的考查，往往在知识网络交汇点上设计试题，注重学科的内在联系和综合，而向量则是三角函数、解析几何等多个部分的知识交汇点。因此也是将来的高考命题热点。

4、在立体几何中向量的运用

新教材增加了向量的内容，是因为向量是解决问题的有效的思想方法，它为教材增加了新鲜的血液，使得教材体系更加富有活力，更有利于学生思维的发展。我们要重视三角函数、向量与其他学科的联系，强调用三角函数与向量知识解决有关实际问题，经历建模过程，发展学生运用数学的意识现行立体几何最大的变化是引进空间向量。在实际的演练中，以向量为工具可以把几何图形的性质转化为向量的运算性质，实现“数与形”的结合，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，这样通过向量就能比较容易地解决几何中的问题。

二、向量教学应注意的问题

1、注重向量的几何意义

在向量的教学中，应注意揭示向量代数性质的几何意义。向量代数性质的几何意义对于运用向量刻画几何对象是非常重要的。
例3：向量数乘运算λa的几何意义是与a平行的向量。两个不共线向量a与b的线性组合λa+γb表示向量a与b所确定的平面。
这就把向量的线性运算与直线、平面联系起来了。aa的几何意义就是向量a的长度的平方，这就把向量的数量积运算与向量的长度联系起来，从而，也就把向量的数量积运算与两点间的距离公式联系起来了。ab=0的几何意义是向量a与b垂直，这就把向量的数量积运算与向量的位置关系联系起来，从而，也就把向量的数量积运算与直线的位置关系以及点到直线的距离联系起来了。

2、突出物理背景

向量具有丰富的物理背景。力、位移、速度、加速度等物理量是向量的原型，这些物理量是学生在日常生活中能够经常感受到的，这为理解向量的概念、向量运算提供了直观、现实的背景。在教学中，应注重突出向量的这些物理背景。

三、向量的教育价值

向量具有丰富的现实背景和物理背景。向量是刻画位置的重要数学工具，在诸如卫星定位、飞船设计、可运动机器人设计与操控中有着广泛的应用。向量也是刻画物理量──力、位移、速度、加速度等的数学工具，它体现了数学与物理的天然联系。力、位移、速度、加速度这些物理量在实际生活中是随处可见的。因此，向量的学习，有助于学生认识数学与实际生活以及物理等学科的紧密联系，体会向量在刻画和解决实际问题中的作用，从中感受数学的应用价值。