研讨事半功倍事半功倍学好数学办法——对称思想

【摘 要】在数学中，对称通常是指图形或物体对某个点，直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应关系。对称的概念略为拓广，把某些具有关联或对立的知识视为一体称为对称思想。经过十几年的实践教学，我认为用对称思想学习数学可以事半功倍。
【关键词】对称思想；关联性；对立性
在数学中，对称通常是指图形或物体对某个点，直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应关系。数学思想是人们对数学科学研究的本质及规律的理性认识。通常认为初中数学思想包括方程思想、函数思想、数形结合思想、转化思想、分类讨论思想和公理化思想等，这些都是对数学活动经验通过概括而获得的认识成果。对称的概念略为拓广，把某些具有关联或对立的知识视为一体称为对称思想。
有人认为中学数学教材可以用集合思想做主线来编写，有人认为以函数思想贯穿中学数学内容更有利于提高数学教学效果，还有人认为中学数学内容应运用数学结构思想来处理等等。经过十几年的实践教学，我认为用对称思想学习数学可以事半功倍。

一、应用对称思想学习初中数学基本知识

（一）关联性
一切客观事物都是相互联系的，作为反映客观事物的数学概念、数学定理、数学公式、数学法则也是互相联系的，在一定条件下可处于一个统源于：论文开题报告范文www.618jyw.com
一体之中。几何知识：无数个点按规律放在一起连成线、无数条线按规律放在一起连成面、几个面按规律放在一起连成体。无数个点——线，两条线——平行，三条线——三角形（高、中线、角平分线、垂直平分线），四条线——四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形），n条线——多边形，线弯了——曲线——扇形——圆形。代数知识：小学一年级开始学习自然数，三年级加入分数——正数，初一年加入负数——有理数，再加入无理数——实数，进一步拓展加入字母，字母——数——未知数——方程——方程组——函数。
（二）对立性
几何知识：性质定理——判定定理。例如：两直线平行，同位角相等——同位角相等，两直线平行；等边对等角——等角对等边；和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上——线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合；菱形的四条边都相等——四边都相等的四边形是菱形；圆的切线垂直于经过切点的半径——经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。代数知识：正数——负数；有理数——无理数；整式的乘法运算：
（a+b）（a-b）=a2-b2 分解因式：
a2-b2=（a+b）（a-b）；等式（方程）——不等式等。正数、负数、有理数、无理数都是学习（加、减、乘、除）四则运算。方程与不等式解法步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）一样。用对称思想重新整理初中数学基本知识，从本质上揭示数学的内在联系，使之成为一个有机整体， 可以事半功倍学好数学。

二、在解题中渗透对称思想

学生解决数学问题时，习惯于按照熟悉的常规的思路去思考，有时能找到解决问题的方法，收到令人满意的效果。然而，实践中也有很多数学问题，利用常规的思路却不易找到正确答案，一旦运用对称思想，常常会取得意想不到的效果。例1：古代算术题：有位妇女不善织布，她每天织的布都比上一天要减少一些，减少的数量是相等的，她第一天织了五尺，最后一天织了一尺，一共织了三十天，她一共织了多少尺布？这题的难点在于除了第一天和最后一天，中间每天织的布不是整数，而且每天比上一天少织多少布也不易求。可运用对称思想解答：假设还有另一位姑娘也和这位妇女一样织布，只不过她与这位妇女织布的情况刚好相反：姑娘每天织的布都比上一天要增加一些，增加的数量是相等的，她第一天织一尺，最后一天织五尺，也织了三十天，由此可知，姑娘和妇女所织布的总长度是相等的，妇女所织的布每天减少的数量与姑娘织布每天增加的布的数量是相等的，因此每天两人共织的布为六尺，三十天共织6×30=180尺，每人织90尺。例2：用若干一元的硬币两人轮流将它摆在一个大圆盘上，要求硬币之间不能重叠，谁摆不下谁算输，是先摆赢还是后摆赢？显然应用对称思想容易解答（轴对称原理）：先摆的人只要先占住圆心，以后对方摆哪你就照他在对面对称着摆出，只要他有空间摆，那么在相对称的地方也必定有空间摆，直至对方摆不下为止，对方先输。

三、从对称思想中发现数学之美，提高学生学习数学兴趣

只有对学习数学充满了乐趣，才能更自觉地学习和研究数学。数学就像一个花园，没进门时看不出它的漂亮可一旦走进去，就会感觉它真美。数学概念成对对立出现：整—分，奇—偶，和—差，曲—直，方—圆，分解—组合，平行—交叉，正比例—反比例……显得稳定、和谐、协调、平衡，真是奇妙动人。图形：
圆形是一切平面图形中最美的，在各个方向上都对称，圆完美无缺。
通过数学知识和观念的培养，通过一些数学思想的传授，要让学生形成一种“数学头脑”，使他们在观察问题和提出问题、解决问题的每一个过程中，都带有鲜明的“数学色彩”。 我们作为新课程理念指导下的教师不仅要传授学生知识，更重要的是要培养学生的能力，让学生在学数学的过程中发现数学的对称思想，进一步提高了数学素养。
参考文献：
（美）西奥妮·帕帕斯，王幼军译.《理性的乐章--从名言中感受数学之美》上海：上海科技教育出版社，2010
黄伟军.《巧用数学对称解题》.《广东教育：综合版》，2006年第22期
作者简介：
林顶芳（1978年2月20日），男，厦门市巷南中学，中学一级教师。