探讨圆锥曲线圆锥曲线有关焦点弦（焦点半径）五个统一性质统一证明

1672-1578（2013）03-0109-02
下面分别从四个方面，给出了圆锥曲线有关焦点弦（焦点半径）的4个统一性质，都是采用对圆锥曲线进行分类讨论，用方程的思想，通过比较复杂的运算得到了证明。本文将用圆锥曲线焦半径的倾角表达式，（本质上圆锥曲线的极坐标方程的直角坐标化）统一证明上述性质1、性质2、性质3和性质4本文给出的性质5，并用这样的思想方法证明巧妙地解答圆锥曲线中的热点问题。
1 圆锥曲线的统一性质

1.1圆锥曲线的统一性质1

AB是通过圆锥曲线的一个焦点F的一条弦（不与焦点所在的直线重合），A、B在焦点相应的准线l上的射影分别为A1B1，设A1F、B1F的中点分别为M、N，则直线AM与BM的交点一定在准线上。（如图1）

1.2给出圆锥曲线的统一性质2

过圆锥曲线的一个焦点F的任意一条弦（不与焦点所在的直线重合）AB，和此焦点对应的顶点的C的连线交F对应的准线l于两点M、N，则以MN为直径的圆必过焦点F。（如图2）
如圆锥曲线是有心的圆锥曲线，那么和另外一个焦点对应的顶点C的的连线交F对应的准线l于M、N两点，则以为MN直径的圆必过焦点F。（如图3）

1.3圆锥曲线的统一性质3

若圆锥曲线的准线与对称轴的交点为A，过点A作圆锥曲线的一条割线交圆锥曲线于B、C两点，过焦点F作与割线的倾斜角互补的直线交圆锥曲线于M、N两点，则有：

1.4圆锥曲线的统一性质4

直线l是圆锥曲线？祝的焦点F所对应的准线，过l上一点P作曲线？祝的两条切线PA、PB。A，B为切点，过PF中点D且平行于直线l的直线l′交直线PA，PB于点M，N。（如图4）
则有：（ⅰ）FM∥PB； FN∥PA；
（ⅱ）记△AFM，△PMN，△BFN的面积分别为S△AFM，S△PMN，
S△BGN
现给出有心二次曲线的统一性质5：（2012江苏高考19题的推广）
过有心二次曲线的两焦点F1，F2作两条射线（同向）交二次曲线于A，B两点，直线F1B和F2A相交于点P，则PF1+PF2为定值。（如图5、6）
2 圆锥曲线统一性质的证明

2.1证明圆锥曲线的统一性质1

以极点为原点，极轴为x轴建立直角坐标系。（如图1）
∴AM方程为：
令x=-p得：
∴BN方程源于：论文格式要求www.618jyw.com
为：
令x=-p得：
故有直线AM与直线BN共点于 ，命题成立。

2.2证明圆锥曲线的统一性质2

设圆锥曲线的极坐标方程为：ρ=；以极点（焦点F）为原点，极轴为x轴建立直角坐标系。（如图2）
⑴ 焦点F的相应的顶点 ，相应准线的直角坐标方程为：x=-p；
直线PA方程为：
令x=-p得y=ecotθ；
直线PB方程为：
令x=-p得y=ecotθ；故有p（-p，ecotθ）；
即过圆锥曲线？祝的焦点F任作一弦AB，过A，B作圆锥曲线？祝的两条切线PA，PB。A，B为切点，则P的轨迹是？祝的焦点F所对应的准线l.等价于过圆锥曲线？祝的准线l上任意一点P作圆锥曲线？祝的两条切线PA，PB。A，B为切点，则有A，F，B三点共线。
在直线PA方程中：
必须指出：有关二次曲线焦点弦长的问题也是高考的热点问题，（05年全国卷Ⅱ文、07年全国卷Ⅰ文、08年全国卷Ⅱ、11年高考四川理科试题）采用圆锥曲线的极坐标方程的直角坐标化可以达成既减少运算量又能减少思维过程的目标，从而正确、迅速地解答此类问题。
参考文献：
陈广权.圆锥曲线又一有趣性质.数学通讯，2011.1.
张广田.圆锥曲线中准线的一个性质探究.数学通讯，2011.1.
[3]王佰龙.圆锥曲线中的一个漂亮的统一性质的证明.数学通讯，2012.2.
[4]马跃进，康宇.圆锥曲线的一个新性质.数学通讯2011.9.