关于解题强化函数概念试述试述增强解题能力大纲

1672-1578（2013）07-0099-01
函数是高中数学的重点考察内容，每年全国各个省份高考数学试题都有很多关于函数知识的考察；但很多学生遇到函数问题感觉无从下手，不知道题目到底考察的是什么知识点，找不到解题的突破口。笔者认为，这些问题大部分都是因为对函数概念理解不够透彻造成的。本文探索了函数概念的教学以及借助函数的性质解决常见问题的一些方法和技巧。
函数的概念：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。
1 对应关系f的理解
对应关系f实际上是一种运算，函数确定，对应关系确定，对应关系对它所施加对源于：大专毕业论文www.618jyw.com
象的操作确定。如已知f（x）=x2+1则
f（ɑ+1）=（ɑ+1）2+1=ɑ2+2ɑ+2；
例1，解方程（3x+1）3+x3+4x+1=0
分析：此题为三次方程，常规途径无法解决，但可以利用函数的定义帮组求解。集合A中的元素x，可以多个存在，右边可以看做y=0，集合B中“有且仅有唯一”元素“0”符合函数的条件，因此可构造函数解题，将方程变为：（3x+1）3+3x+1=-（x3+x）
令f（x）=x3+x则f（x）为奇函数且在R上是单调递增，
∴ f（3x+1）=-f（x）=f（-x）
∴ 3x+1=-x，x=-■ ∴原方程的解为x=-■
2 抽象函数的定义域
例2，已知函数y=f（x）定义域为[3，5]，求：（1）函数y=f（x+2）的定义域；（2）函数y=f（2x-1）的定义域。
分析：此类问题只需抓住两点即可，其一，对应法则所施加对象的取值范围确定，其二，函数的定义域指的是x的取值范围。由已知可得对应法则施加对象的取值范围是[3，5]。所以：
（1）3≤x+2≤5，解得1≤x≤3，所以函数y=f（x+2）的定义域为[1，3]
（2）类似于（1）的过程可得函数y=f（2x-1）的定义域为[2，3]
变式训练：已知函数y=f（2x+1）定义域为[1，2]，求：（1）函数y=f（x）的定义域；（2）函数y=f（3x-1）的定义域。
解析：首先确定对应法则所施加对象的取值范围为[3，5]，可以方便得到最终答案（1）[3，5]，（2）■，2
3 与单调性、奇偶性的综合考察
例3定义在（-1，1）上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x），且f（1-ɑ）+f（1-2ɑ）<0。若f（x）是（-1，1）上的减函数，求实数ɑ的取值范围。
分析：此题考察的知识点有三个方面，一是奇函数的相关代数性质，二是抽象函数的定义域，三是函数单调性的相关性质；只要三方面综合考虑即可。
解：由f（1-ɑ）+f（1-2ɑ）<0
得f（1-ɑ）<-f（1-2ɑ）
∵ f（-x）=-f（x） x∈（-1，1）
∴ f（1-ɑ）又∵f（x）是（-1，1）上的减函数，
-1<1-ɑ<1-1<1-2ɑ2ɑ-1 解得 0<ɑ<■
故实数ɑ的取值范围是0，■
变式训练：已知y=f（x）为R上的偶函数，且当x>0时f（x）=x2-4x，解不等式f（x）>x
4 与函数的周期性相结合
例4，已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），求f（6）的值。
分析：此题主要考察了函数的周期性及奇函数的相关性质。首先应该将原式化为f（x）=f（x+T）的形式，得到函数周期，然后继续求解。
解：∵f（x+2）=-f（x） ∴ f（x+4）=-f（x+2）；
从而可得f（x）=f（x+4），函数周期为4.
∴ f（6）=f（2）=f（-2），
又因为f（x）为R上的奇函数，所以f（2）=-f（-2）
∴ f（2）=f（-2）=0， ∴ f（6）=0
变式训练：（1）函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=■，若f（1）=-5，求f（f（x））的值。
（2）已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中常数k为负数，且f（x）在区间[0，2]上有表达式f（x）=x（x-2）
（1）求f（-1），f（

2.5）的值；

（2）写出f（x）在[-3，3]上的表达式，并讨论函数f（x）在[-3，3]上的单调性；
（3）求出f（x）在[-3，3]上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值。
以上例题是函数概念及其思想的部分应用，如果学生真正对函数概念有了清晰的认识，上述例题做起来也会得心应手。所以，笔者认为在函数概念的教学中教师不要一味求快，而应该加强学生对概念的理解，反复强调，达到熟练应用的目的。