研究浅谈浅谈函数与图像

【摘 要】函数作为高中数学必修课中的重要内容之一，借助图像来研究其概念、性质是非常有效的一种数学学习方法，同时也凸显出数形结合思维的重要性。学习函数必须立足于函数的基本概念和基本原理，深入训练和加强对函数图像的认识，才能够做到对高中数学函数题目游刃有余。一旦学生拥有了对函数专题比较自信的习惯，那么对于高中数学的教学源于：论文格式要求www.618jyw.com
而言，就已经成功了一半。本文重点探讨高中数学教学过程中，针对函数及其图像的思考。
【关键词】高中数学；函数；图像
回顾数学史，我们能够清晰地看到早在十七世纪的时候就诞生了log以及sin等基本的对数函数和三角函数，在数学长河的发展中，函数一直成为历代数学家研究和探讨的重要对象，因此，高中数学的学习与教学过程中，把握好函数的教授是至关重要的，不仅仅因为函数作为一条重要知识点脉络贯穿了整个中学数学，还因为学习函数及其图像，能够有效地联系数学各个章节的内容，培养学生良好的数学思维和数学习惯。

一、函数的生活背景

在当下科技日益发展和社会日益进步的时代，我们无时无刻不在面对和应用函数，也许大家并不是十分在意，其实函数在所有人的生活背景中出现并且担当着非常重要的角色。
当人们炒股的时候，会不断地查看和分析股票交易图形，这便是最为基础的函数图像；当人们买彩票的时候，也会观察和讨论彩票概率图，这也是一种函数图像；当房地产的总览表公布的时候，大家依然会发现这是一幅形状不规律的函数图像。各种各样的图表更是频频映入眼中，出租汽车里程与计价之间就是一种函数关系。还有银行的存款与利息之间的关系等等，都可见函数的重要社会作用。
其实生活中处处有函数，人们的生活时时刻刻都离不开函数图像。因此，了解和掌握函数的概念以及原理，借助函数图像了解函数的性质是中学生必须掌握的一项数学技能。

二、函数的图像与性质

高中阶段学习和研究的函数一般都是初等函数，包括三角函数、反三角函数、幂函数、对数函数等，这些函数的学习过程中，将其图像画出并且通过函数图像来了解其性质，是高中阶段函数教学的一个重要特点。教师在教学的过程中往往是让学生先认识和理解函数解析式，即掌握概念，之后教师要求学生通过描点或者根据函数的特征画出草图，最终分析函数的性质。当然有的时候是通过定性分析性质之后，做出准确的图像。
通过函数图像我们往往能够研究函数值y随着自变量x的变化情况，解决如下几个问题。
（1）当x增大时函数值增大吗？
（2）当x在它的变化范围内变化时，函数值能保持在有限范围吗？
（3）函数的图像是关于y轴或原点对称吗？
（4）函数值随着自变量的变化是周而复始的周期变化吗？这样的问题即所谓函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性。

三、函数的思想方法

学好函数的精髓就是学会运用函数的思想来思考并解决数学问题，以下总结了几大类函数的思想方法。
（1）变换与对应的思想。函数总是有三个元素：定义域、自变量和函数，而自变量的变化总会有函数的变化来与其对应，这就是我们强调的变换与对应的思想，因此在研究函数图像的过程中，一定要注意一一对应关系。
例如求方程log2（x+4）=3x的实根的个数。
一旦画出y=log2（x+4）与y=3x的图像，两图像的交点数就是实根的个数就会很明显得到2个。
（2）构造性思想。往往在高中数学解题过程中，我们会强调构造函数的解法，其实当出现一些类似于函数模型的题目的时候，一定要注意运用构造函数的思想来解决，这种方法往往能够起到事半功倍的效果。
例设四次多项式u=x4+ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c为常数，当x=1，2，3时u的值也相应等于1，2，3当x=4时，u=p，当x=0时，u=q.求：p+q的值。
解： 根据条件特征可以构造函数，y=u-x=x4+ax3+bx2+（c-1）x+d，由于x=1，2，3时，u=1，2，3，则方程u-x=0，
一定有根1，2，3又由于y=u-x是四次多项式，
∴y=（x-1）（x-2）（x-3）（x-r），
由y=4时u=p得 p-4=24-6r
由x=0时，u=q
解得 q=6r故得p+q=28.
（3）数形结合思想。对函数的研究不仅仅通过解析式，也能通过图像来考虑。例如，用画函数图像的方法解不等式：
-2x+3<3x-7.
由一次函数与一元一次不等式的关系可先将其化为一般形式，再画图求解。也可以将-2x+3与3x-

7.看作是两个关于x的一次函数即y1=-2x+3，y2=3x-7，

于是不等式的解集即对应着y10，画出直线y=5x-10，可以看出x>2时这条直线上的点在x轴上方。即这时y=5x-10>0，所以不等式的解集为{x│x>2}.
函数是高中数学中很重要的一部分内容，它实用且贯穿性强，通过函数的学习可以渗透和贯穿到学习数、式、方程、不等式、数列等其他高中数学基础知识。本文在笔者教授高中数学的实践中总结的些许经验，也许对于函数的各个方面的研究还不够全面，希望广大同仁们能够在授课之余多多总结互相探讨。
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