谈述解题例析高中数学中巧解题结论

一、挖掘隐含条件解题

有一类与整式的加减有关的计算题，求解时需深入分析题意，挖掘出求解问题必不可少的隐含条件，使问题巧妙地得解，现举几例予以说明。
例1 已知代数式mx2-mx-2与3x2+mx+m的和是单项式，求代数式3m2n-{-[-7m2n-5mn2+（2m2n-3mn2）+2mn2]-2（m2n+3mn2）+m}的值。
分析：由已知mx2-mx-2与3x2+mx+m的和是单项式，可得本题的隐含条件m+3=0，或m-2=0，由此确定m的值，再将其代入化简后的求值式，即可使问题求解。
解：因为mx2-mx-2+3x2+mx+m=（m+3）x2+m-2，由题意知m+3=0，或m-2=0。由此解得m=-3或m=2，又由3m2n-{-{-7m2n-5mn2+（2m2n-3mn2）+2mn2]-2（m2n+3mn2）+m}=（3-7+2+2）m2n+（-5-3+2+6）m2n-m=-m，将m=3或m=2代入，得求值式等于3或-2。

二、巧用圆及椭圆的参数方程解题

1.圆的参数方程

①x2+y2=r2的参数方程为x=rcosθy=rsinθ（θ∈R）
②圆（x-a）2+（y-b）2=r2的参数方程为x=a+rcosθy=b+rsinθ（θ∈R）

2.椭圆的参数方程

椭圆■+■=1的参数方程为x=acosθy=bsinθ（θ∈R）
例1 已知点p（x，y）是圆（x+2）2+y2=1上任一点，求x-2y的最值。
解：因为点p（x，y）在圆（x+2）2+y2=1上，所以x=-2+cosθy=sinθ（θ∈R）从而x-2y=-2+cos-2sin=-2+■cos（θ+φ）
当cos（θ+φ）=-1时，x-2y有最小值-2-■
当cos（θ+φ）=1时，x-y有最大值-2+■
所以x-2y最小值为-2-■，最大值为-2+■.
小结：圆的参数方程用同一个角的三角函数表示两个变量x、y，增强了变量x、y的内在联系，结合三角函数的有界性，可以计算简化。
例2 若椭圆的焦距是F1（-■，0），F2（■，0），离心率e=■。求椭圆上的点到直线2x+3y+8=0的距离的最大源于：论文写作www.618jyw.com
值。
解：由已知可求出椭圆的方程为■+■=1。
设椭圆上的点p（2cosθ，sinθ），则点p到直线2x+3y+8=0的距离d=■=■≤■=■，当且仅当sin（θ+φ）=1时取等号。
所以，满足条件的最大值为■。
例3 若动点（x，y）在曲线■+■=1（b>0）上变化，则x2+2y的最大值为（）
A.■+4（0C.■ D.2b
答案：A
解：∵点P在■+■=1上，∴x=2cosθy=bsinθ（θ∈R）。
∴x2+2y=4cos2θ+2bsinθ=-4sin2θ+2bsinθ+4=
-4（sinθ-■）2+■+4
当0<■<1，即0当■≥1即b≥4时，当sinθ=1时，x2+2y的最大值为-4（1-■）2+■+4=2b。
∴x2+2y的最大值为■+4（0小结：椭圆的参数方程中的参数θ已渗透了范围，所以在某些题目中，特别是与椭圆有关的最值问题中运用参数方程会简化运算，减少计算、理解上的错误。
（作者单位：安徽省灵璧县第一中学）