简论零点函数零点理由

函数 的零点，即方程 的根的存在性及其个数的探究是高中数学新课程必修模块中函数及其应用的重要内容。函数图象是横亘在“方程的根”与“函数的零点”之间的桥梁，它蕴涵了“函数与方程思想”、“数形结合”等数学思想和方法，是近年来高考的热点问题。下面从函数零点的存在性及零点个数两个方面对其进行初探。

1、函数零点的存在性

根据函数零点存在定理研究函数 在区间 上是否存在零点，融汇了二分法的数学方法，若函数 在 上的图象是一条连续的曲线，则 是 在 内有零点的充分不必要条件。
例.（2010浙江）函数 在下列区间上不存在零点的是（ ）
A. B. C. D.
分析：
又 ，
在 上存在零点，排除法，故选A.

2、函数零点个数的判断方法

2.1 方程法：方程 的根的个数即为函数 零点的个数，我们可以直接解方程求其零点。

例

1.（2学位论文www.618jyw.com

010湖北）函数 在区间 上的零点个数为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
分析： ，
即可得函数的零点，故选C.

2.2 直接法：利用函数的性质及零点存在定理，直接研究所给函数作出判断。

例

2.试研究函数 的零点分布情况。

分析： ，
令 得 ，
在 上单调递增，在 和 上单调递减，
又 ，故 在 上有唯一的零点。

2.3 转化法：将 或 转化为两个函数图象的交点个数问题进行判断。

例

3.（2012辽宁）设 是方程 （ 为实常数）的两根，则 的值为（ ）

A. 4 B. 2 C. D.与 有关
分析：方程 的根即函数 的图象与直线 交点的横坐标，而 的图象关于直线 对称，且在 两侧单调，因此对 ， 的图象与直线 必有两个交点，且两个交点关于直线 对称，因此 ，故选A.
特别提出的是，根据函数零点的个数求参数的取值范围是训练提高学生综合能力的经典问题，也是高考的热点之一。