函数,常见带根式函数最值解法
更新时间：2024-04-13
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【】求函数最值的策略教学论文，是带根式的函数最值理由更要讲究解法，的是如何巧妙灵活地等价转化.
【词】根式函数;最值;等价转化
众所周知，求函数最值是高中数学内容，有题型值得，那带根式的函数最值理由，题型特殊的结构，所以在解题中要式子的特点，巧妙灵活地转化，将不熟悉的变成熟悉的，将抽象的变成的，化腐朽为神奇.就此作一点探讨，供大家.
剖析 函数定义域为［1,+∞)，函数单调性易见函数在x=1时有最小值2.
剖析 函数定义域为［1,+∞)，巧添分母1将原函数转化为f(x)=x+1-x-1[]1，然后再分子有理化得f(x)=(x+1-x-1)(x+1+x-1)[]x+1+x-1=2[]x+1+x-1,分母的最小值为2,所以f(x)的最大值为2.
剖析 函数定义域为［1,+∞)，令t=x-1，则x=t2+1,f(t)=t2-t+1(t≥0)，易知最小值为3[]4.
例4 求函数f(x)=x+1-x2的最小值、最大值.
剖析 函数定义域为［-1,1］，设x=cosα,α∈［0,π］,
则y=cosα+1-cos2α，
化简得y=cosα+sinα=2sinα+π[]4,α∈［0,π］,
所以ymin=-1,ymax=2.
剖析 函数定义域为［1,3］，到式子的特点，将等号两边平方得y2=2+2(3-x)(x-1)=2+2-x2+4x-3,x∈［1,3］,设t=-x2+4x-3,x∈［1,3］,易知tmax=1,则ymax=2.
剖析 函数定义域为［1,3］，不等式a+b[]2≤a2+b2[]2得
3-x+x-1[]2≤(3-x)2+(x-1)2[]2=1，当且仅当x=2时取“=”，所以ymax=2.
例7 求函数f(x)=3-x+2x-2的最大值.
剖析 函数定义域为［1,3］，柯西不等式(ax+by)2≤(a2+b2)(x2+y2)得
(3-x+2x-2)2≤［12+(2)2］［(3-x)2+(x-1)2］=6,所以ymax=6.
剖析 原函数转化为f(x)=(x-1)2+(0-2)2+(x-3)2+(0-4)2,理解为直角坐标系中点P(x,0)到点A（1,2)与点P(x,0)到点B（3,4)的距离之和，即
y=|PA|+|PB|,图像特点，求出点A关于x轴的对称点A′(1,-2)，则原函数的最小值为ymin=|A′B|=(3-1)2+(4+2)2=210.
剖析 f′(x)=3(x-1)[]2x,y=f(x)在［1,2］上单调递增，在［0,1］上单调递减，ymin=-2.
上述例题，解决此类理由的是等价转化，寻找最佳的策略教学论文.在教学中，要引导学生对策略教学论文的学习和掌握，学会运用简单的浅析、处理、解决理由，提高学生的解题能力.
【词】根式函数;最值;等价转化
众所周知，求函数最值是高中数学内容，有题型值得，那带根式的函数最值理由，题型特殊的结构，所以在解题中要式子的特点，巧妙灵活地转化，将不熟悉的变成熟悉的，将抽象的变成的，化腐朽为神奇.就此作一点探讨，供大家.
1.单调性
例1 求函数f(x)=x+1+x-1的最小值.剖析 函数定义域为［1,+∞)，函数单调性易见函数在x=1时有最小值2.
2.分子有理化
例2 求函数f(x)=x+1-x-1的最大值.剖析 函数定义域为［1,+∞)，巧添分母1将原函数转化为f(x)=x+1-x-1[]1，然后再分子有理化得f(x)=(x+1-x-1)(x+1+x-1)[]x+1+x-1=2[]x+1+x-1,分母的最小值为2,所以f(x)的最大值为2.
3.换元法
例3 求函数f(x)=x-x-1的最小值.剖析 函数定义域为［1,+∞)，令t=x-1，则x=t2+1,f(t)=t2-t+1(t≥0)，易知最小值为3[]4.
例4 求函数f(x)=x+1-x2的最小值、最大值.
剖析 函数定义域为［-1,1］，设x=cosα,α∈［0,π］,
则y=cosα+1-cos2α，
化简得y=cosα+sinα=2sinα+π[]4,α∈［0,π］,
所以ymin=-1,ymax=2.
4.平策略教学论文
例5 求函数f(x)=3-x+x-1的最大值.剖析 函数定义域为［1,3］，到式子的特点，将等号两边平方得y2=2+2(3-x)(x-1)=2+2-x2+4x-3,x∈［1,3］,设t=-x2+4x-3,x∈［1,3］,易知tmax=1,则ymax=2.
5.不等式法
例6 求函数f(x)=3-x+x-1的最大值.剖析 函数定义域为［1,3］，不等式a+b[]2≤a2+b2[]2得
3-x+x-1[]2≤(3-x)2+(x-1)2[]2=1，当且仅当x=2时取“=”，所以ymax=2.
例7 求函数f(x)=3-x+2x-2的最大值.
剖析 函数定义域为［1,3］，柯西不等式(ax+by)2≤(a2+b2)(x2+y2)得
(3-x+2x-2)2≤［12+(2)2］［(3-x)2+(x-1)2］=6,所以ymax=6.
6.数形法
例8 求函数f(x)=x2-2x+5+x2-6x+25的最小值.剖析 原函数转化为f(x)=(x-1)2+(0-2)2+(x-3)2+(0-4)2,理解为直角坐标系中点P(x,0)到点A（1,2)与点P(x,0)到点B（3,4)的距离之和，即
y=|PA|+|PB|,图像特点，求出点A关于x轴的对称点A′(1,-2)，则原函数的最小值为ymin=|A′B|=(3-1)2+(4+2)2=210.
7.导数法
例9 求函数f(x)=x(x-3),x∈［0,2］的最小值.剖析 f′(x)=3(x-1)[]2x,y=f(x)在［1,2］上单调递增，在［0,1］上单调递减，ymin=-2.
上述例题，解决此类理由的是等价转化，寻找最佳的策略教学论文.在教学中，要引导学生对策略教学论文的学习和掌握，学会运用简单的浅析、处理、解决理由，提高学生的解题能力.
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