探讨初中生从一元二次方程复习为例谈初中生思维能力培养

摘 要：一元二次方程的学习是初中数学的重点内容，在对这部分内容进行的学习的时候，很多学生往往由于考虑的不够周全出现错误。针对一元二次方程的复习，对学生的思维能力的培养进行简单分析。
关键词：一元二次方程；复习；初中数学；思维能力
在初中数学教学中，一元二次方程这一章节是重点内容，在学习的时候不但要传授给学生方法，还要对学生的思维能力进行培养，本文主要从一元二次方程这一章的复习方法进行分析，讨论提高学生思维能力的方法。

一、培养学生思维的概括性

一元二次方程章节的复习目的在于对所学知识进行消化、巩固，以加深学生的记忆和理解，对学习过程中的知识遗漏进行弥补。所以，最为关键的就是对知识的梳理，尤其对培养学生思维的概括性有很大的帮助。
1.定义
例

1.以下式子中，哪些属于一元二次方程？

（1）x（x-1）x2；（2）x2+■+4=0；（3）x（x-1）=5。
解：（3）式为一元二次方程。
2.解法
（1）直接平方法
例

2.求方程（x+3）2=4的解。

解：直接开平方可得x+3=±2，所以，x=±2-3，即x1=-1，x2=-5。
（2）配方法
例

3.求方程x2-4x+1=0的解。

解：配方可得：x2-4x+22=-1+22，即（x-2）2=3，所以x-2=±■，即x1=■+2，x2=-■+2。
（3）公式法
例

4.求方程x2-4x+1=0的解。

解：因为Δ=（-4）2-4×1×1=12，所以，x=■=■，即x1=2+■，x2=2-■。
（4）因式分解法
例

5.求方程x2-2x=0的解。

解：提公因式可得：x（x-2）=0，所以，x1=0，x2=2。

3.根的判别式

当Δ>0时，方程存在两个不等的实根；当Δ=0时，方程存在两个相等的实根；当Δ<0时，方程没有实根；则当Δ≥0时，方程存在实数根。

4.根与系数的关系

例

6.已知方程x2-4x+1=0，求x1+x2，x1·x2的值。

解：x1+x2=-■=-■=4，x1·x2=■=■=1。

二、培养学生思维的周密性

在教学中，经常会发现学生在思考问题的时候丢三落四，不是不深入就是不全面。所以，在教学中，教师要注意设置一些具有陷阱的问题，一来可以提高学生分析问题和解决问题的能力，二来也使学生考虑问题的周密性思维得到培养。
例7.如果关于x的方程（m-3）x|m|-1+4x+5=0是一元二次方程，求m及x12+x22的值。
解：根据题意可以得到|m|-1=2，m-3≠0可解得m=-3，带入原方程可得：6x2-4x-5=0。根据根与系数的关系可知：
x1+x2=-■=-■=■，x1·x2=■=■=-■，
所以，x12+x22=x12+x22+2x1x2-2x1x2=（x1+x2）2-2x1x2=（■）2-2×（-■源于：论文格式模板www.618jyw.com
）=■。
例8.如果关于x的方程■是一元二次方程，判断根的情况并求a的取值。
解：根据题意可以知道a2-2=22-a≠0，可得a=-2，带入原方程可得到：4x2+5x+6=0。
因为a=4，b=5，c=6，
所以，Δ=b2-4ac=52-4×4×6=25-96<0
因此，方程没有实数根。

三、培养学生思维的发散性

在一元二次方程复习过程中，教师要引导学生从不同方向、不同角度对同一个问题去分析、去思考、去研究，从而得到多种解题方法，不仅可以激发学生学习的积极性，而且也能对学生思维的发散性进行培养。
例9.求方程3x（x-1）=2x-2的解。
解：方法一：求根公式法
原方程可以转化为：3x2-5x+2=0。
因为：a=3，b=-5，c=2，
所以，Δ=b2-4ac=（-5）2-4×3×2=1，
所以，x=■=■=■，
所以，x1=1，x2=■。
方法二：配方法
原方程可以转化为3x2-5x=-2。
因为：x2-■+（■）2=-■+（■）2，所以，（x-■）2=■，
所以，x-■=±■，则：x1=1，x2=■。
方法三：交叉相乘法
原方程可以转化为3x2-5x+2=0，（3x-2）（x-1）=0，
则有3x-2=0或者x-1=0，所以：x1=1，x2=■。
方法四：提公因式法
原方程可以转化为3x（x-1）=2（x-1），则3x（x-1）-2（x-1）=0，
提公因式可得：（x-1）（3x-2）=0，则有（x-1）=0或（3x-2）=0，
所以：x1=1，x2=■。
总而言之，只要数学教师对新课标认真地学习和总结，对新教材进行深入地钻研，运用新的教育教学理念，根据学生的年龄层次、心理特征以及认知规律，做好以上方面的工作，就能够培养其思维能力，使教育教学的目标得以实现。
参考文献：
秦道崇.浅析分解因式法解一元二次方程[J].中学课程辅导：教学研究，2012（22）.
刘顿.一元二次方程根与系数作用大[J].中学生数学：初中版，2012（24）.
（作者单位 四川省江油市重华学校）