阐述探究一道几何题多种证法和变式探究中心

一、问题的多种证法

题目：如图，在菱形ABCD中，E是BC延长线上一点，连接AE，使得∠E = ∠B，过D作DH⊥AE于H .
（1）若AB = 10，DH = 6，求HE的长；
（2）求证：AH = CE + EH.
分析 本题以三角形、四边形为背景，是一道综合性较强的试题，涉及到了初中阶段的很多重点知识，重点检测菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等相关知识，同时考查了学生的逻辑思维能力和推理论证能力以及数学的转化思想.这类题目学生感到并不陌生，但要求学生必须能灵活处理问题，并能根据具体的问题选择适当的方法加以解决.下面给出本题第二问的三种解法.
（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD = AB = 10. ∵∠E = ∠B，∴ AE = AB = 10 .
∵在Rt△ADH中，AD = 10，DH = 6，∴ AH = 8.
∴ HE = AE - AH = 2 .
（2）证法一：过点A作AG⊥BC于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴ AD∥BC，AB = BC.
∴ ∠DAE = ∠E .
又 ∵ ∠E = ∠B，
∴ ∠DAE = ∠B，AE = AB = BC .
∵ AG⊥BC，DH⊥AE，∴ ∠AGB = ∠DHA = 90°.
又 ∵ AB = AD，∴ △AGB≌△DHA.∴ BG = AH .
又 ∵ BC = AE，∴ GC = HE.
∵ AB = AE，AG⊥BC，∴BG = GE（三线合一）.
∴ AH = GE = GC + CE = HE + CE.
证法二：延长BE，过点D作DG⊥BE于，连接DE.
∵四边形ABCD是菱形，
∴ AD∥BC，AB∥CD，AD = CD .
∴ ∠B = ∠DCE，∠DAH = ∠AEC.
又 ∵∠B = ∠AEC，∴ ∠DAH = ∠DCE.
∵ DG⊥BE，DH⊥AE，∴ ∠DHA = ∠DGC = 90°.
又 ∵ AD = CD，∴ △AHD≌△CGD. ∴ AH = CG，DH = DG
∵ ∠DHE = ∠DGC = 90°，DH = DG，DE = DE，
∴ △DHE≌△DGE. ∴ HE = GE，
∴ AH = CG = CE + EG = CE + HE .
证法三：延长BE到，使得GE = HE，连接DE.
∵四边形ABCD是菱形，
∴ AD∥BC. ∴ ∠ADE = ∠DEG.
∵ AE = AB，AB = AD，∴ AE = AD.
∴ ∠AED = ∠ADE. ∴ ∠AED = ∠DEG.
又 ∵ HE = GE，DE = DE，∴ △DHE≌△DGE.
∴ DH = DG，∠DHE = ∠DGE.
∵ DH⊥AE，∴∠DHA = ∠DHE = ∠DGC = 90° .
又 ∵ AD = CD，DH = DG，∴△AHD≌△CGD.
∴ AH = CG = CE + EG = CE + HE .

二、问题的变式探究

本文从不同角度对上述试题做了探究，得到了以下几种变式.
变式1 如图，在菱形ABCD中，∠B = 45°，E是BC延长线上一点，连接AE，使得AB = AE，AE交CD于点H.
（1）若AB = 2，求HC的长；
（2）求证：AH = CE + EH.
（1） 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴ AD = CD = AB = 2，∠D = ∠B = 45°，AD∥BC.
∵ AB = AE，∴ ∠E = ∠B = 45°. ∴ ∠BAE = 90°.
又 ∵ AB∥CD，∴ ∠AHD = ∠BAE = 90°.
∵在Rt△AHD中，AD = 2，∠D = 45°，
（2）证明：在线段AH上取一点F，使得AF = CE，连接DF，DE.
∵ ∠ADC = 45°，∠AHD = 90°，∴∠EAD = 45°.
∵ AB∥CD，∴ ∠DCE = ∠B = 45°.
∴ ∠EAD = ∠DCE.源于：大专毕业论文范文www.618jyw.com
又 ∵ AD = CD，AF = CE，
∴△DAF≌△DCE .
∴ DF = DE .
又 ∵ DH⊥AE，∴ FH = HE .
∴ AH = AF + FH = CE +HE.
变式2 如图，在菱形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，使得∠E = ∠B，过D作DH⊥AE于H.
（2）求证：HE = AH +CE.
（1） 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴ AB = BC = CD = AD = 6.
∵ ∠E = ∠B，∴ AE = AB = 6.
∴ HE = AE - AH = 4.
（2）证明：在线段HE上取一点F，使得EF = CE，连接DF，DE.
∵ AB = AE，AB = AD，∴ AD = AE. ∴ ∠AED = ∠ADE .
∵四边形ABCD是菱形，
∴ AD∥BC.∴ ∠ADE = ∠DEC.
∴ ∠AED = ∠DEC.
又 ∵ EF = CE，DE = DE，
∴ △DEF≌△DEC.∴ DF = DC.
又 ∵ CD = AD，∴ DA = DF .
又 ∵ DH⊥AE，∴ AH = FH.
∴ HE = HF + EF = AH + EC.