中点,对说,巧用对说妙证题

如图1，点M是Rt△ABC的斜边BC的中点，P，Q是AC，AB上的点，求证△MPQ的周长大于BC.
作出点M关于AC与AB的对称点，即点M′与点M″，连结MA，M′P，M′A，M″Q，M″A，由对称性及∠BAC=90°易知M′，A，M″三点在一条直线上，且M′A=M″A=MA. 而MA=BC，所以M′M″=BC. 又由对称性知M′P=MP，M″Q=MQ，但M′P+PQ+QM″>M′M″，所以MP+PQ+QM>BC，即△MPQ的周长大于BC.
摇如图2，点M是△ABC的边BC的中点，D，E是边AB，AC上的点，且DM⊥ME. 求证：BD+CE>DE.
因点M是BC的中点，作出点E关于点M的中心对称点E′，连结E′B，E′D，由对称性知BE′=CE，E′M=ME. 又DM⊥ME，那么DM是E′E的中垂线，所以DE′=DE. 但在△BDE′中，BD+BE′>DE′，故BD+CE>DE.
摇如图3，在等腰三角形ABC中，点D是底边BC的中点，点E在△ABD内，求证：∠AEB>∠AEC.
因点D是等腰三角形ABC的底边BC的中点，那么AD是△ABC的对称轴，这时可作点E关于AD的对称点E′，连结AE′，CE′，并延长EE′交AC于点F. 由对称性可知△ACE′≌△ABE. 所以∠AE′C=∠AEB. 显然∠AE′F>∠AEF，∠CE′F>∠CEF，将两式相加，得∠AE′C>∠AEC，所以∠AEB>∠AEC.
摇如图4，四边形ABCD是梯形，BC∥AD，点M是CD的中点，ME⊥AB于点E，求证：SE·AB.
因点M是CD的中点，以点M为对称中心作出点A的对称点A′，连结A′C，由对称性知AC′∥AD，而BC∥AD，所以B，C，A′在一条直线上，且△MCA′≌△MDA. 连结BM，那么BM是△ABA′的中线，SE·AB=ME