探讨猜想《高等数学》教学中猜想性思维集

[摘要]人们把数学的学习称为思维的体操．你经常做数学训练，就是让你的思维做着体操．猜想是对研究的对象或问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等，依据已有的材料和知识作出符合一定经验与事实的推测性想象的思维形式．猜想是一种合情推理，属于综合程度较高的带有一定直觉性的高级认识过程．对于数学研究或者发现学习来说，猜想方法是一种重要的基本思维方法．
[关键词]高等数学 数学思想 数学猜想
面对信息社会迅猛增长的知识量，培养学生获取知识的智能及能力就显得更为重要。只有在掌握了坚实的理论知识前提下，学生才能做到融会贯通、举一反三。在加强理论教学的同时，应重视学生智能和自主学习能力的培育。自学能力是一个人运用已学知识，不依赖或少依赖他人的帮助而独立获取知识、掌握知识和运用知识的能力，是一种综合能力。
当一门科学真正被把握且具有某些素质的时候，人们不一定当初就具备了这些素质，而往往在把握的过程中有可能形成这些素质．正是在这个意义上，人们把数学的学习称为思维的体操．你经常做数学训练，就是让你的思维做着体操．在高等数学知识体系中，许多的数学思想方法都蕴涵在大量的概念、定理、法则与解题过程中．所以，高等数学的教学不仅是知识的灌输，而应该在教学过程中，既传授丰富的知识，又传授基本的数学思想方法，让学生学会去“想数学”，学会运用数学思想方法，获得终身受益的思想方法．
猜想是对研究的对象或问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等，依据已有的材料和知识作出符合一定经验与事实的推测性想象的思维形式．猜想是一种合情推理，属于综合程度较高的带有一定直觉性的高级认识过程．对于数学研究或者发现学习来说，猜想方法是一种重要的基本思维方法．正如波利亚所说：“在你证明一个数学定理之前，你必须猜想到这个定理，在你弄清楚证明细节之前，你必须猜想出证明的主导思想．①”因此，研究猜想的规律和方法，对于培养能力、开发智力、发展思维有着重要的意义．
数学猜想是在数学证明之前构想数学命题的思维过程．数学事实首先是被猜想，然后是被证实．那么构想或推测的思维活动的本质是什么呢？从其主要倾向来说，它是一种创造性的形象特征推理．就是说，猜想的形成是对研究的对象或问题，联系已有知识与经验进行形象的分解、选择、加工、改造的整合过程．黎曼关于函数 （其中z=x+iy）零点分布的猜想；希尔伯特23个问题中提出的假设或猜想等都是数学猜想的著名例子．这些猜想有些是正确的，有些是不正确的或不可能的问题，它们已被数学家所证明或否定或加以改进；有些则至今仍未得到解决．但是所有这些猜想或问题吸引了无数优秀的数学家去研究，成为推动数学发展的强大动力．
数学猜想和数学证明是数学学习和研究中的两个相辅相成互相联系的方面．波利亚提出，在数学教学中“必须两样都教”，即既要使学生掌握论证推理，也要使他们懂得合情推理．“会区别有效的论证与无效的尝试，会区别证明与猜想”，“区别更合理的猜想与较不合理的猜想”．因此，掌握数学猜想的一些基本方法是数学教学中应予以加强的一项重要工作．
严格意义上的数学猜想是指数学新知识发现过程中形成的猜想．例如非欧几何产生过程中的有关猜想以及上面谈到的一些猜想例子都属于这一类．但是这些猜想并不能在短时间内形成．它们实际上来源于广义的数学猜想，即在数学学习或解决问题时展开的尝试和探索，是关于解题的主导思想、方法以及答案的形式、范围、数值等的猜测．不仅包括对问题结论整体的猜想，也包括对某一局部情形或环节的猜想．在这种意义上，数学猜想的一些基本形式是：类比性猜想、归纳性猜想、探索性猜想、仿造性猜想及审美性猜想等．它们同时反映了数学猜想的一些基本方法．
类比性猜想是指运用类比方法，通过比较两个对象或问题的相似性，得出数学新命题或新方法的猜想．常见的类比猜想方法有形象类比、形式类比、实质类比、特性类比、相似类比、关系类比、方法类比、有限与无限的类比、个别到一般的类比、低维到高维的类比等．
归纳性猜想是指运用不完全归纳法，对研究对象或问题从一定数量的个例、特例进行观察、分析，从而得出有关命题的形式、结论或方法的猜想．
探索性猜想是指运用尝试探索法，依据已有知识和经验，对研究的对象或问题作出的逼近结论的方向性或局部性的猜想．也可对数学问题变换条件，或者作出分解，进行逐级猜想．探索性猜想是一种需要按照探索分析的深入程度加以修改而逐步增强其可靠性或合理性的猜测．探索性猜想与探索性演绎是相互交叉前进的．在对一个问题的结论或证明方法没有明确表达的猜想时，我们可以先给出探索性猜想，再用探索性演绎来验证或改进这个猜想；在已有明确表达的猜想时，则可用探索性演绎来确定它们的真或假．
仿造性猜想是指由于受到物理学、生物学或其他科学中有关的客观事物、模型或方法的启示，依据它们与数学对象或问题之间的相似性作出的有关数学规律或方法的猜想．因此，模拟方法是形成仿造性猜想的主要方法．例如，由物理学的表面张力实验猜想等周问题的极值；从光的反射规律猜想数学中有关最短线的解答；从力的分解与合成猜想有关图形的几何性质；由抛射运动来猜想和解决有关抛物线的几何性质等都是仿造性猜想的典型事例．
审美性猜想是运用数学美的思想——简单性、对称性、相似性、和谐性、奇异性等，对研究的对象或问题的特点，结合已有知识与经验通过直观想象或审美直觉，或逆向思维与悖向思维所作出的猜想．例如，困难的问题可能存在简单的解答；对称的条件能够导致对称的结论以及可能运用对称变换的方法去求解，如奇函数在对称区域上的积分为零；相似的对象具有相似的因素或相似的性质，导数、定积分的本质都是极限，因此它们的一些运算法则与极限运算法则相同；和谐或奇异的构思有助于问题的明朗或简化等均属此列．审美性猜想也与其他猜想一样，可以根据具体情况猜想出问题的结论或者问题的解法等．
[注释]
①[美]Ｇ·波利亚．数学与猜想（第二卷）．李志尧译．北京：科学出版社，1984.
[参考文献]
张顺燕.数学的源与流[M].北京：科学出版社，2003（第二版）
赵振威.数学发现导论[M].合肥：安徽教育出版社，1993
[3]刘鸿基.《高等数学》教学中学生创新能力培养的实践与认识［J］.商丘师范学院学报，2006，22（2）：171-173
（作者单位：商丘师范学院 河南商丘）