试议几种几种常用辅助线证全等生

证明三角形的全等可以通过三角形全等的判定定理来进行证明，还有部分是要通过添加辅助线来进行证明的.由于学生七年级刚学习几何证明，所以添加辅助线证明全等对学生来说是有些难度的. 下面介绍五种证明三角形全等常见的辅助线作法，帮助同学们进行总结，供学习时参考.

一、截等长线段

一般情况下，这种方法适用于求两条或两条以上的线段的和，或者是证明某条线段的长度等于其他若干条线段的长度之和，而这些线段又不在同一条直线上，那么就要想办法把这些线段进行等量转换，移到同一条直线上进行比较. 而这里等量转换的方法通常就是用正三角形全等，或者可以考虑用截长补短的办法，在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等.
例1 如图1，在△ABC中，∠ABC = 60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB.求证：AC = AE + CD.
证明 在AC上截取AF = AE，
连接OF.
∵ AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，∠ABC = 60°.
∴ ∠1 + ∠2 = 60°，∴ ∠4 = ∠6 = ∠1 + ∠2 = 60°.
△AEO ≌ △AFO.
∴ ∠5 = ∠4 = 60°，∴∠7 = 180° - （∠4 + ∠5） = 60°.
在△DOC与△FOC中，∠6 = ∠7 = 60°，∠2 = ∠3，OC = OC.
∴ △DOC ≌ △FOC，CF = CD，∴ AC = AF + CF = AE + CD.

二、中线倍长

当三角形问题中出现了有关中线或者中点这一类信息时，延长三角形的中线至原中线的二倍，就可以轻松地构造源于：论文 范文www.618jyw.com
出全等三角形. 这也是证明三角形全等的常用的一种解题思路.
例2 已知三角形的两边长分别为7和5，那么第三边上中线长x的取值范围是（ ）.
解 如图2所示，设AB = 7，AC = 5，BC上中线AD = x.
延长AD至E，使DE = AD = x.
又 ∵ BD = CD，∠ADC = ∠EDB，
∴ △ADC ≌ △EDB（SAS），
∴ BE = AC = 5，即7 - 5 < 2x < 7 + 5，
∴ 1 < x < 6.

三、添加平行线

当图形中有相等的角或等腰三角形时，可通过作平行线将角进行转换得到另外的等腰三角形或相等的角，为证明全等提供必要的条件.
例3 如图3，在等腰△ABC中，AB = AC，在AB上截取BD，在AC延长线上截取CE，且使CE = BD. 连接DE交BC于F. 求证：DF = EF.
证明 作DH∥AE交BC于H.
∴ ∠DHB = ∠ACB，
∵ AB = AC，∴∠B = ∠ACB，∠DHB = ∠B，∴ DH = BD，
∵ CE = BD ∴ DH = CE，
又 ∵ DH∥AE，∠HDF = ∠E，∠DFH = ∠EFC，
∴△ DFH ≌ △EFC（AAS），∴ DF = EF.

四、补全图形

有些三角形问题当中，延长两条线段相交于某点构成一个新的图形，那么就可以找到更多的等量关系，更有助于问题的解决.
例4 如图4，在△ABC中，AC = BC，∠BCA = 90°，BD为∠ABC的平分线.若A点到直线BD的距离AD为a，求BE的长.
证明 延长AD，BC相交于F.
由BD为∠ABC的平分线，BD⊥AF.
易证△ADB ≌ △FDB.
∴ AF = 2a，∠F = ∠BAD.
又 ∵ ∠BAD + ∠ABD = 90°，∠F + ∠FAC = 90°，
∴ ∠ABD = ∠FAC.
∵ BD为∠ABC的平分线，
∴ ∠ABD = ∠CBE，
∴ ∠FAC = ∠CBE，而∠ECB = ∠ACF = 90°，AC = BC，
∴ △ACF ≌ △BCE（ASA），∴ BE = AF = 2a.

五、利用角的平分线对称构造全等

角平分线是证明三角形全等的一个有利条件，一条角平分线至少会有一组等角和一组公共边，在角平分线的基础上构造出全等三角形是一种常用的解题方法.
例5 如图5，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A + ∠C = 180°.证明：AD = CD.
证明 在BC上截取BE = BA，
连接DE.
∵ BD平分∠ABC，易证△ABD ≌ △EBD，
∴ AD = DE，∠A = ∠BED.
又 ∵∠A + ∠C = 180°，∠BED + ∠DEC = 180°
∴∠DEC = ∠C，∴ DE = CD，∴ AD = CD.
【参考文献】
张洪云.五步构造全等三角形[J].中学数学教学参考，2011（12）.
黄雪明.全等三角形创新题赏析[J].初中生之友，2011（9）.
[3]彭胜军.三角形全等证明题中常用辅助线的几种方法[J].初中生辅导，2012（16）.