简论作法与平行四边形有关常用辅助线作法剖析科技

【内容摘要】在几何教学中，多数学生感觉困难，原因是很多几何题需要添加辅助线。如何添加辅助线？不仅要把握定理和概念，还要刻苦练习，归纳总结找出规律。
【关键词】辅助线 平移 延长 转化
解决几何问题，当所给的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。
添加辅助线有两种情况：
一、按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们，相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
二、按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
添加辅助线的作用：
一、揭示图形中隐含的性质：当条件与结论间的逻辑关系不明朗时，通过添加适当的辅助线，将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以便取得过渡性的推论，达到推导出结论的目的。
二、聚拢集中原则：通过添置适当的辅助线，将图形中分散，远离的元素，通过变换和转化，是他们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论。
三、化繁为简原则：对一类几何命题，其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中，其逻辑关系不明朗，通过添置适当辅助线，把复杂图形分解成简单图形，从而达到化繁为简，化难为易的目的。
四、发挥特殊点、线的作用：在题设条件所给的图形中，对尚未直接显现出来的各元素，通过添置适当辅助线，将那些特殊点，特殊线，特殊图形性质恰当揭示出来，并充分发挥这些特殊点，线的作用，达到化难为易，导出结论的目的。
五、构造图形的作用：对一类几何证明，常须用到某种图形，这种图形在题设条件所给的图形中却没有发现，必须添置这些图形，才能导出结论，常用方法有构造出线段和角的和差倍分，新的三角形，直角三角形，等腰三角形等。
辅助线是解几何题的重要工具，也是沟通已知条件和未知结论的重要桥梁。在平行四边形中有几句顺口溜：平行四边形出现，对称中心等分点；平行移动对角线，补成三角形常见。那么与平行四边形有关的辅助线有哪些呢？下面本文结合例题归纳六类与平行四边形有关的常见辅助线：
第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
[例1]如下图1，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）
图1
⑴连结BF；⑵猜想：BF=DE
⑶证明：连结DB，DF，设DB，AC交于点O
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AO=OC，DO=OB
∵AE=FC
∴AO-AE=OC-FC即OE=OF
∴四边形EBFD为平行四边形
∴BF=DE
第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。
[例2]如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是（ ）
A.1C.10图2
解：将线段DB沿DC方向平移，使得DB=CE，DC=BE，则有四边形CDBE为平行四边形，
∵在△ACE中，AC=12，CE=BD=10，AE=2AB=2m
∴12-10<2m<12+10
即2<2m<22，解得1第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
[例3]已知：如图3，四边形ABCE 为平行四边形，求证：
图3
AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2
证明：过A，D分别作AE⊥BC 于点E，DF⊥BC的延长线于点F
∴AC2=AE2+CE2=AB2-BE2+（BC-BE）2=AB2+BC2-2BE·BC
BD2=DF2+BF2=（CD2-CF2）+（BC+CF）2=CD2+BC2+2BC·CF
则AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2+2BC·CF-2BC·BE
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD且AB=CD，AC=BC
∴∠ABC=∠DCF
∵∠AEB=∠DFC=90°
∴△ABE≌△DCF
∴BE=CF
即AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2
第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。
[例4]已知：如图4，在正方形ABCD中，E，F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点，求证：AP=AB
证明：延长CF交BA的延长线于点K
∵四边形ABCD为正方形
∴AB∥CD且AB=CD，CD=AD，∠BAD=∠BCD=∠D= 90°
∴∠1=∠K
又∵∠D=∠D=90°，DF=AF
∴△CDF≌△KAF
∴=CD=AB
∵2CE=CD，2DF=AD
∴CE=DF
∵∠BCD=∠D=90°
∴△BCE≌△CDF
∴∠1=∠2
∵∠1+∠3=90°
∴∠2+∠3=90°
∴∠CPB=90°，则∠KPB=90°
∴AP=AB
第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。
[例5]如图5，在平行四边形ABCD中，点E为边CD上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。
图5
解：延长AE与BC的延长线相交于F，则有：
△AED∽△FEC
△FAB∽△FEC
△AED∽△FAB。
第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线。
[例6]已知：如图6，在平行四边形ABCD中，AN=BN，3BE=BC，NE交BD于F。
求BF：BD。
图6
解：连结AC交BD于点O，连结ON
∵四边形ABCD为平行四边形
∴OA=OC，OB=OD=BD/2
∵AN=BN
∴ON∥BC且2ON=BC
∴BE：ON=BF：FO
∵3BE=BC
∴BE：ON=2：3
∴BF：FO=2：3
∴BF：BO=2：5
∴BF：BD=1：5
综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。
【参考文献】
《中学数学研究》（初中版 1），广州出版社，2012.
罗淼、严虹、廖义琴.《几何学概论》，清华大学出版社，2011版.
（作者单位：安徽省颍上县新庙高级职业中学）源于：论文书写格式www.618jyw.com