谈平面几何平面几何证明中信息处理工作

经过几年来的教学，我发现对于初中学生来说，学习几何最难的就是平面几何的入门，许多成绩较好的同学在刚刚学习平面几何证明时往往会感到题意难以理解、无从入手，从而产生恐惧感. 这是由于学生在初步掌握有关论证推理的方法后，往往会受到三种阻碍思维发展的因素影响：（1）没有主动地感知题意所供的信息，使思维停滞. （2）思维混乱. （3）缺少经验和概括能力. 为了帮助他们克服这些困难，我认为他们在学习过程中应注意信息在以下三个环节的处理.

一、仔细审题、斟酌图形，揭示关系

最大限度地抽取对解题有用的信息，是完成平面几何证明的一个基本前提. 许多初学者看到题目常常不知所措，无从下手，他们不善于感知或意识到题目中隐蔽着的关系，甚至一些十分明确的量也会被他们丢失. 根据这种状况，在平时应要求学生论证习题时，首先回答五个“是否”，以便思维正常发展.

1. 图形是否正确

证明几何题，总强调先画出尽可能正确的图形. 正确的图形能够在视觉上提供一个客观的形象，便于提出假设. 比如，正确的图形常常能提示出三角形全等，线段相等，特殊四边形是矩形还是菱形，以及轴对称或中心对称图形等信息；或一些否定的信息，如这四边形不可能是正方形，某两个角不可能相等也会在正确的图形中反映出来. 反之，不正确的图形却是一个直接的干扰，甚至给结论设置障碍. 当然，图形的正确性必须包含合理性的要求，如画平行四边形就不能画成矩形或菱形，题意中没有要求是等腰三角形或直角三角形就不能画成特殊三角形.

2. 已知、求证是否要化简转换

若题意中有冗长的叙述，要力求化成简单的关系和量. 如求证三条线段相交于一点，可先证其中两条相交于一点，然后证这点也在第三条线段上.

3. 给出的关系和量是否充分展开

就是对已知、求证的信息一个个加以思考，然后根据有关定义、公理、定理把已知条件性质化，延伸出尽可能多的信息，要避免忽视或遗漏较弱的信息.

4. 是否存在隐藏的条件

审题时还常常需要对提供的信息，结合图形，按照一般规律经验发掘题目中的隐藏条件. 添置辅助线就是寻找隐藏条件一种常用的方法.

5. 基本图形是否存在

有些几何图形过于复杂，有些则过于简单，不能直接看出各信息之间的关系，应认真辨别出基本图形，找出实质性的关系，简化思维过程. 例1：已知：∠ACB = 3∠B，∠1 = ∠2，CD⊥AD于D，求证：AB - AC = 2CD.
由已知所提的信息若能想到作辅助线，即延长CD交AB于E，这个基本图形就能把全等三角形的性质呈现出来，于是就得到AE = AC，ED = CD的新信息. 其中，主要通过辅助线把隐蔽条件显示出来.
结合以上五点，并经一定的训练和练习，我认为大部分学生的思维可以得到充分发展，从而增强他们论证的信心.

二、分析综合，加工信息，接通回路

大多数平面几何初学者的思维往往杂乱无章，他们无法收集较多的信息，对于一个稍微复杂的过程就会晕头转向. 为了解决这一问题，在实际论证教学中，教师不只要教会他们分析和综合两种方法，还要让他们把这两种方法有机结合起来形成回路，使学生对证明的探求过程有序可循，而不至于停留在盲目的尝试错误阶段上.
加工处理信息实际上就是交替运用综合与分析. 它要求，抓住一系列信息，结合图形，按照学过的定义、公理、定理及有关经验，在“分析—综合”的活动中，经过反复地加工，筛选多余的信息，逐步缩短已知到求证的距离，从而接通证明的回路. 例2：已知：AB = AE，AC = AD，AC⊥AD，AB⊥AE，求证：ED⊥BC. 回路分析图所示：
分析法：根据本例的“已知”难于发现与结论有关的“可知”，由“未知”难于探求与题设有直接联系的“需知”，因此可以把两者通过“综合—分析”法有机结合起来形成回路，这样整个证明过程就有序可循了.

三、整理表述、总结经验、提取精华

联系回路接通后，还需对加工过程进行归纳、筛选，然后按综合法整理出完整的逻辑表达式. 这过程要求初学者必须重视训练.
由于初中学生普遍不太注重论证后的小结，认为表述以后就完事了. 事实上，数学能力较强的学生，他们在表述的同时，就立刻将证明的模式、原则等精华贮存在记忆中. 因此，在学习过程中要求学生做到以下几个方面.

1. 寻求简洁、合理、最优的论证

大多数的几何证明题都有几种不同的证明方法. 寻求多种渠道，一题多解，特别是比较证题思路，选择简洁、合理、最优的论证是发展智力，培养论证思维能力的有效方法.

2. 记忆实用的基本联系

找出图中的基本图形，想想用了哪些性质，这对于识别基本图形，把握基本图形的组合，考察知识点间的常见联系，积累解题经验是很重要的.

3. 失败的原因不可忽视

有些学生在证明两线段相等时，仅认为归结为证两个三角形全等或证明等腰三角形，却忘了还可以通过第三条线段来过渡，因此失败了，像这些失败的原因应该懂得归纳，以便今后不再出现类似的错误.

4. 老师小结的内容，更要牢牢记住

师在教学过程中，往往都会对所授的内容做个小结，以便学生对本节课内容的掌握有所侧重，同时也为以后找出证明的突破口积累经验.
最后要指出的是，论证思维的一般过程仅仅是学好平面几何证明的必要条件，而反复多次地、由浅入深地让学生自己实践，才是学好证明的关键.源于：论文发表网www.618jyw.com