浅谈有效值几种典型交变电流有效值计算公式推导学年

交变电流的有效值是根据电流的热效应来规定的. 让交流和直流分别通过相同阻值的电阻，如果它们在相同时间内产生的热量相等，就把这一直流的数值叫作这一交流的有效值.即用与交变电流有相同热效应的直流来等效替代交变电流在能量方面所产生的平均效果.现行所有版本的高中物理教材都没有给出交变电流有效值计算公式的推导，只是直接给出了正弦全波交变电流有效值的计算公式.而计算非正弦交变电流（如矩形波、锯齿波等）的有效值时，不能应用正弦全波交变电流的有效值公式，只能根据有效值的定义进行求解.本文就来介绍正弦波、矩形波和锯齿波等几种典型交变电流有效值计算公式的推导，以加深对交变电流有效值定义的理解.

一、正弦波交变电流有效值的计算公式

1. 正弦全波交变电流有效值的计算公式

根据有效值的定义可知，用与交变电流有相同热效应的直流来等效替代交变电流在能量方面所产生的平均效果.因交变电流的大小和方向随时间做周期性变化，不同时刻的效果一般不同，即瞬时功率不能反映交变电流的实际效果，通常用平均功率来描述交变电流在一个周期内产生的平均效果.
正弦交变电流的电流（i=Imsinωt）和在纯电阻R两端所产生的电压（u=Umsinωt）都随时间做周期性变化，则交变电流在纯电阻R上消耗的瞬时功率为
P=i2R=Rsin2（ωt）=R①
或 P==sin2（ωt）= ②
交变电流在纯电阻R上消耗的平均功率是瞬时功率P在一个周期T内对时间的平均值，即
其中最大功率为Pm=R ④
（1）割补法
在纯电阻电路中，由于通过电阻R的电流i和电阻R两端的电压u相位一致，无相位差，因而任何时刻输入到负载电阻R中的瞬时功率P都是正值. 由①或②式可得如图①所示的P-t图像.把P-t图线与t轴围成的“面积”进行割补：A-a、B-b、C-c对应割-补，就会得到一个矩形ODT. 在p-t图像中，图线与坐标轴所包围的“面积”在数值上等于这段时间内交变电流在负载电阻R上做的功. 根据功能关系、P-t图像的物理意义和交变电流有效值的定义可得Q = W =t
I2RT =T⑥
或 T=T⑦
由③、④、⑥式可得
I=，
由③、⑤、⑦式可得
U=.
（2）对称法
如图1所示，在一个周期内，根据对称性，P-t图像中图线与t轴所包围的“面积”等于矩形OPmET面积的一半，由P-t图像的物理意义和交变电流有效值的定义可得
PmT=I2RT ⑧
或PmT=T⑨
由④、⑧式可得I=，
由⑤、⑨式可得 U=.

2. 正弦半波交变电流有效值的计算公式

若如图2所示的正弦半波交变电流通过电阻R时，那么一个周期T内产生的热量等于它为正弦全波交变电流时的一半，即
T=T
或RT=I2RT.
而U=，I=，
因而可得U半=，I半=.

3. 正弦单向脉动交变电流有效值的计算公式

因为电流的热效应与电流的方向无关，所以如图3所示的正弦单向脉动交变电流与正弦全波交变电流通入电阻时所产生的热效应完全相同，即

二、矩形波交变电流有效值的计算公式

1. 矩形非对称交变电流有效值的计算公式

若把一直流电压U和如图4所示的矩形非对称交变电压分别加在同一电阻R上，则矩形非对称交变电流在一个周期T内产生的热量为
Q1=·+·
或Q1=I12R·+R·.
直流电在相等时间T内产生
的热量为
Q2=T或Q2=I2RT .
根据有效值的定义可知
·+·=T
或I12R·+R·=I2RT.
则 U=， I=

2. 矩形对称交变电流有效值的计算公式

在图4中，若U1=U2=Um，即为矩形对称交变电流，则由上式可知，其有效值的计算公式为
U = Um或 I = Im
即U =，I =.

3. 矩形脉动交变电流有效值的计算公式

如图5所示的矩形脉动交变电流源于：毕业设计论文范文www.618jyw.com
的实质是一种脉冲直流电，当它通入电阻R后，一个周期T内产生的热量相当于直流电产生热量的，t为一个周期内脉动时间.由有效值的定义可知
T=T
或I2RT=RT，
则 U=Um，
I=Im，
当=时，U=，I=.

三、锯齿波交变电流有效值的计算公式

若把如图6所示的锯齿波交变电流的一个周期T分成n等份，则每一份时间Δt=.且一个周期T内对应的时刻分别为
t1=Δt，t2=2Δt，…，tn=nΔt=T，所对应的电流的瞬时值分别为
i1=kt1，i2=kt2…，in=ktn=Im，
其中图线的斜率k=.
当n→∞时，Δt→0.可认为在时间Δt内，电流为某一定值，则由有效值的定义可知
I2RT=i12RΔt+i22RΔt+…+RΔt.
由以上各式联立可得
I=Im.
把12+22+…+n2=代入上式，并进行极限运算可得锯齿波交变电流有效值的计算公式为
I=.
引申：（1）若把如图7所示的锯齿波交变电流的一个分成n等份，则每一份时间Δt=.且锯齿波图线的斜率大小k=.电流的热效应与电流的方向无关，根据有效值的定义可得 I2RT=2（i12RΔt+i22RΔt+…+RΔt），同理可得锯齿波交变电流有效值的计算公式为I=.
（2）若把如图8所示的等腰三角波交变电流的一个分成n等份，则每一份时间Δt=.且等腰三角波图线的斜率大小k=. 根据有效值的定义可得I2RT=4（i12RΔt+i22RΔt+…+RΔt）.
同理可得等腰三角波交变电流有效值的计算公式为I=.
（3）因为电流的热效应与电流的方向无关，同理可得如图9所示的等腰三角单向脉动交变电流有效值的计算公式为I=.
综上所述，不同类型交变电流的有效值都是根据有效值的定义计算的，同时，对称矩形波、正弦全波（含正弦单向脉动、矩形脉动）和锯齿波交变电流有效值的计算公式分别为：I=，I=，I=；U=，U=，U=.