关于相遇追及相遇不科

摘 要：讨论追及相遇，其实质就是分析讨论两物体在相同的时间内能否到达相同的空间位置问题。
关键词：临界条件
两物体在同一直线上运动，两物体间的距离发生变化时，可能会出现最大距离、最小距离或者相遇的情况，这类问题称为追击问题。追击问题也是匀变速直线运动规律在实际问题中的具体应用。追及问题的主要特征是两物体在追赶上时处于同一位置，因此，解决追及问题的关键也是找出位移的关系。追及类问题大致可以分为以下6种类型：

一、初速度为零的匀加速运动的物体追赶同方向的匀速运动的物体。

例1：一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5s后警车发动起来并以

2.5m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的速度必须控制在90km/h以内，问：

⑴警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？
⑵警车发动起来后要多长时间才能追上货车？
解析：⑴警车在追赶货车的过程中，当两车速度相等时。它们间的距离最大，设警车发 动后经过t1时间两车的速度相等，则t1=10/

2.5（s）=4s

S货=（

5.5+4）×10m=95m

S警=（1/2）at2=1/2×

2.5×42m=20m

所以两车间的最大距离△s=S货-S警=75m。
⑵v0=90km/h=25m/s，当警车刚达到最大速度时，运动时间t2=25/

2.5（s）=10s

S货'=（

5.5+10）×10m=155m

S警'=（1/2）at2=1/2×

2.5×102m=125m

因为s货'>s警'，故此时警车尚未赶上货车，且两车相距△s'=S货'-S警'=30m
警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过△t时间追赶上货车，则△t=△s'/（v0-v）=2s
所以警车发动后要经过t=t2+△t=12s才能追上货车。

二、匀减速运动物体追赶同方向的匀减速运动的物体。

例2：在水平轨道上有两列火车A和B相距S，A车在后面做初速度为V0 、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a 的匀加速直线运动，两车运动方向相同，要是两不相撞，求A车的初速度V0满足的条件。
解析：由运动学公式，相遇条件可知SA=S+SB，即v0t+1/2×（-2a） ×t2=s+at2/2
整理得3at2-2v0t+2s=0
是时间t的一元二次方程，当跟的判别式△=（2V0）2-4×3a×2s<0，即V0<时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度V0 应满足的条件是V0≤

三、匀速运动的物体追赶同方向做匀加速运动的物体

这类问题存在一个恰好追上或恰好追不上的临界条件，即两物体速度相等。临界条件给出了一个判断此种追赶情形能否追上的方法，即可通过比较两物体处在同一位置时的速度大小来分析。具体方法是：假定在追赶过程中两者能处在同一位置，比较此时的速度大小。若匀速运动的速度大于做匀加速运动的速度，则能追上；若匀速运动的速度大于做匀加速运动的速度，则追不上；如果始终追不上，当两物体速度相等时，两物体的间距最小。
例3：甲、乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9m/s的速度跑完全程：已从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置标记。在某次练习中，甲在接力区前S0=13.5处做了标记，并以V=9m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令。乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒。已知接力区的长度为L=20m。
求：⑴此次练习中乙在接棒前的加速度a。
⑵在完成交接棒时乙离接力区末端的距离。
解析：⑴在甲发出口令后，甲乙达到共同速度所用的时间为t=V/a ①
设在这段时间内甲、乙的位移分别为S1和S2则
S2=（1/2）at2 ②
S1=Vt ③
S1=S2+S0 ④
联立①、②、③、④式解得a=V2/2S0 a=3m/s2 ⑤
⑵在这段时间内，乙在接力区的位移为
S2=V2/2a S2=1

3.5m ⑥

完成交接棒时，乙与接力区末端的距离为
L-S2=6.5m

四、匀减速运动物体追赶同方向的匀速运动的物体

例4：汽车正以10m/s的速度在平直的公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为6m/s2的匀减速运动，汽车恰好不碰上自行车，求关闭油门时汽车离自行车多远？
解析：汽车在关闭油门减速后的一段时间内，其速度大于自行车的速度，因此汽车和自行车之间的距离在不断缩小，当这个距离缩小到零时，若汽车的速度减至与自行车相同，则能满足题设的汽车恰好不碰上自行车的条件，所以本题要求的汽车关闭油门时离自行车的距离S，应是汽车从关闭油门减速运动，直到速度与自行车速度相等时发生的位移S汽与自行车在这段时间内发生的位移S自之差。
汽车减速到4m/s时发生的位移和运动的时间分别为：S汽=（V2汽-V2自）/2a
=（100-16）/2×6=7（m）
t=（V汽-V自）/a=（10-4）/6=1（s）。
这段时间内自行车发生的位移：S自=V自t=4×1=4（m）
汽车关闭油门时离自行车的距离：
S=S汽-S自=7-4=3（m）。 五：两物体都做匀加速运动的追及问题
这类题目，往往是两个物体的相距某一距离s如乙在前为a1初速度为零的匀加速运动，甲在后为a2，初速度为v0的匀加速。这类两车相遇的问题比较复杂，其相遇的次数取决于a1、a2的关系。解决问题的思路是：由于两车同时同向运动，故有v甲=v0+a2t，v乙=a1t
（1） 当a1v乙，由于原来甲在后，乙在前，所以甲、乙两车的距离在不断缩短，经过一段时间后甲车必然超过乙车，且甲超过乙后相距越来越大，因此甲、乙两车只能相遇一次。
⑵当a1=a2时，a1t=a2t，可得v甲=v乙，因此甲、乙两车也只能相遇一次。
⑶当a1>a2时，a1t>a2t，v甲和源于：标准论文格式范文www.618jyw.com
v乙的大小关系会随着运动时间的增加而发生变化，刚开始a1t和a2t相差不大且甲有初速v0，所以v甲>v乙； 随着时间的推移a1t和a2t相差越来越大，当a1t-a2t=v0时v甲=v乙；接下来a1t-a2t>v0，则有v甲例5：甲乙两车相距x，同时相向运动，乙在前面做加速度为a1、初速度为零的匀加速运动，甲在后面做加速度为a

2、初速度为v0的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数和加速度的关系。

解析：由于s甲=v0t+1/2×（a2） ×t2，s乙=1/2×a1 ×t2相遇时有s甲- s乙=x
则v0t+1/2×（a2） ×t2 -1/2×a1 ×t2=x
1/2×（a1-a2） ×t2-v0t+x=0
因为t=s/v0 ①
所以（1）当a1（2）当a1=a2时，s甲- s乙=v0t+1/2×（a2） ×t2-1/2×a1 ×t2=x
所以t=x/ v0
t只有一个解则相遇一次。
（3）当a1>a2时，若v20<2（a1-a2）x①式t有两个正解，即相遇两次。

六、相向运动的相遇问题

例6：一辆轿车违章超车，以108km/h的速度驶入左侧逆行道时，猛然发现正前方80m处一辆卡车正以72km/h的速度迎面而来，两司机同时刹车，刹车加速度大小都是10m/s2，两司机的反应时间（即司机发现险情到实施刹车所经历的时间）都是△t。试问△t是何值，才能保证两车不相撞？
解析：设轿车和卡车反应时间为△t。
轿车行车速度v1=108km/h=30m/s，卡车运行速度v2=72km/h=20m/s
轿车在△t时间先匀速运动，后匀减速运动。运行的距离，在△t内：L1= v1×△t。
匀减速直线运动的距离L2= v21/2a
则运行距离S= v1×△t+ v21/2a
同理卡车运行的距离S'= v2×△t+ v22/2a
只有当S+S'<80m时，两车不相撞。
即，v1×△t+ v21/2a+ v2×△t+ v22/2a<80
代入数值，整理得，50△t<15.
解得，△t<0.3s
追及问题是运动学中较为综合且有实际意义的一类问题，它往往涉及两个以上物体的运动过程，每个物体的运动规律又不尽相同。对此类问题的求解，除了要透彻理解物理基本概念，熟悉运动学公式外，还应仔细审题，挖掘题目中隐含的重要条件，并尽可能画出草图帮助分析，以确认两个物体运动的位移关系、时间关系和速度关系。