简论矩阵弹性力学教学中矩阵表达形式期刊

收稿日期：2013-05-13
基金项目：2012年湖北省高等学校省级教学研究项目（2012237）；三峡大学弹性力学精品课程建设项目
作者简介：刘章军（1973-），男，三峡大学水利与环境学院工程力学系教授，博士，主要从事工程力学研究，（E-mail）liuzhangjun73@aliyun.com。
摘要：在弹性力学的本科教学中，采用了矩阵形式来表达各物理量间的相互关系。文中主要讨论了以应力、应变、位移为基本量的各物理量间的矩阵表达形式，包括基本方程、边界条件以及不同坐标间的基本物理量的转换关系。采用矩阵表达形式不仅书写简洁、记忆容易，而且表现直观、便于理解。
关键词：弹性力学；本科教学；矩阵表达形式
10052909（2013）05006605在现行的弹性力学本科教材中，各物理量间的相互关系主要采用展开形式的教学方式，这种展开的表达形式书写较为复杂且记忆困难，各物理量间的关系不能直观表现。虽然采用张量的指标记法可以达到书写简洁的目的，但对于初学者理解较为困难。为此，在弹性力学的本科教学中，采用矩阵表达是一种较为合适的形式。采用矩阵表达形式具有书写简洁、记忆容易，同时也便于与数值解法（如有限单元法）相衔接。
为检验矩阵表达形式在弹性力学本科教学中的效果，笔者曾在2年4个学期的教学中进行了矩阵表达形式与展开形式的对比实践，学生普遍认为矩阵表达形式简洁易懂、便于记忆。对于普通大学本科生而言，矩阵表达是一种较为理想的教学形式。为此，文章简要介绍在弹性力学本科教学中采用的矩阵形式表达。

一、弹性力学问题中物理量间的相互关系

在大学本科教材中，一般采用弹性力学问题的微分提法[3]，即从研究弹性体内的微元入手，导出描述微元静力平衡、变形几何及物理关系的一组基本方程，加上相应的边界条件，把弹性力学问题归结为求解偏微分方程组的边值问题。图1给出了弹性力学中各物理量间的相互关系，包括基本方程和边界条件。

二、以应力为基础的物理量间的矩阵表达

在直角坐标系x，y，z下，应力分量σx，σy，σz，τxy，τxz，τyz，体力分量fx，fy，fz，面力分量x，y，z，全应力在坐标轴上的投影px，py，pz，外法线的方向余弦l，m，n；在柱坐标ρ，φ，z下，应力分量σρ，σφ，σz，τρφ，τρz，τφz，体力分量fρ，fφ，fz。为简便之，记：
图1物理量间的相互关系
高等建筑教育2013年第22卷第5期
刘章军，等弹性力学本科教学中的矩阵表达形式
下面，给出以应力为基础的各物理量间的矩阵表达形式。

(一)平衡微分方程的矩阵表达

在直角坐标系中，平衡微分方程的矩阵表达形式为：
σ（1）（1）+f（1）=0（1）
这里，记号约定：σx×x=σxx，τxy×y=τxyy，τxz×z=τxzz，依此类推。式（1）表明了应力状态随坐标的变化规律，即应力对坐标的一阶导数与体力所满足的平衡关系式。类似地，在柱坐标系中的平衡微分方程可写为：
σ（2）（2）+f（2）+e（2）=0摘自：本科毕业论文答辩www.618jyw.com
（2）
这里，记号约定：σρ×ρ=σρρ，τρφ×1ρφ=1ρτρφφ，τρz×z=τρzz，依此类推。在式（2）中，增加的e（2）项是由于柱坐标系中φ的正面和负面不平行，以及ρ的正面和负面面积不等所引起的。
对于弹性力学平面问题，只需在式（1）和式（2）中分别去掉与z相关的所有元素，即可得到平面问题的直角坐标和极坐标中的平衡微分方程。
对于空间轴对称问题，由于对称性，有τρφ=τφz=0，其他4个应力分量σρ，σφ，σz，τρz一般都是ρ和z的函数。因此，将式（2）中矩阵σ（2）的第二行和第二列去掉，同时将所有列向量的第二行去掉，得到空间轴对称问题的平衡微分方程：

(二)斜截面应力的矩阵表达

已知某点的应力张量或应力矩阵σ后，此点的应力状态就被确定了。于是，过此点任意斜截面上的全应力在笛卡尔坐标轴上的投影可写为：
p（1）=σ（1）l（1）（4）
若将斜截面看作物体的边界面，且给定面力（1），即可得到应力边界条件：
（1）=σ（1）l（1）（5）
同时，斜截面上的正应力的矩阵表达式为：
σn=l（1）Tp（1）=l（1）Tσ（1）l（1）（6）

(三)主应力和主方向的矩阵表达

由于应力张量或矩阵σ是一个实对称的3×3阶方阵，因此，它的三个特征值都是实数，同时存在三个相互正交的特征向量。事实上，对于给定的应力张量或矩阵σ，此点的主应力和主方向即为应力矩阵σ的特征值和特征向量：
σ（1）l（1）=σl（1）（7）
主应力是计算最大正应力和最大剪应力的基础，在工程强度校核中起到重要作用。

(四)应力分量转换公式的矩阵表达

设x，y，z为原坐标系，x′，y′，z′为新坐标系，若令lij=cosx′i，xj，即x′i轴与xj轴夹角的余弦，对于同一点在不同坐标系下的应力分量转换公式的矩阵表达式为：
σ′=βσ（1）βT（8）
其中，新坐标系的应力矩阵σ′和转换矩阵β分别为：
σ′=σ′xτ′xyτ′xz
τ′xyσ′yτ′yz
τ′xzτ′yzσ′z，
β=l11l12l13
l21l22l23
l31l32l33
特别地，对于直角坐标与柱坐标中的应力转换公式为： 源于：硕士论文www.618jyw.com