方程概率,巧借差分方程概率难题

摘要：简要了如何递推联系和全概率公式搭建起差分方程与概率理由间的桥梁，总结了两种途径建立差分方程的，阐述了如何差分方程这一工具概率的难题．
词：差分方程；概率；递推联系；全概率公式
■差分方程概述
1． 差分的
设函数y=f（t）自变量t取的整数，并记其函数值为y■．当t=…，-2，-1， 0，1，2，…，其对应的函数值为…，y-2，y-1，y0，y1，y2，…，yn，…，差yt+1－yt称为函数y■的差分，也称为一阶差分，记为Δyt，则函数y=f（t）在时间t的一阶差分为Δyt=yt+1－yt．
一阶差分的性质
（1）若y=C（C为常数），则Δyt=0；
（2）对于任意常数k，Δkyt=kΔyt；
（3）Δ（ayt+bzt）=aΔyt+bΔzt．
函数y=f（t）在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分，即
Δ2yt=Δ（Δyt）=Δ（yt+1－yt）=Δyt+1－Δyt=（yt+2－yt+1）－（yt+1－yt）=yt+2－2yt+1+yt．
同样定义三阶差分、四阶差分更高阶的差分．
一般地，k阶差分（k为正整数）定义为
Δkyt=Δ（Δk-1yt）
=Δk-1yt+1－Δk-1yt
=■（－1）iC■yt+k-1，
这里C■=■．

2. 差分方程的

含有自变量、自变量的函数差分的方程，称为差分方程． 出现在差分方程差分的最高阶数，称为差分方程的阶． n阶差分方程的一般形式为
F（t，yt，Δyt，…，Δnyt）=0或F（t，yt，yt+1，…，Δyt+n）=0．

3. 差分方程的解

将已知函数y=f（t）代入方程F（t，yt，yt+1，…，Δyt+n）=0，使其对t=…，-2，-1，0，1，2，…恒等式，则称y=f（t）为方程的解． 含有n个任意独立常数c1，c2，…，cn的解y=（t，c1，c2，…，cn）称为n阶差分方程的通解．在通解中给任意常数c1，c2，…，cn以确定的值所得的解，称为n阶差分方程的特解．

4. 线性差分方程解

形如yt+n+a1（t）yt+n-1+a2（t）yt+n-2+…+an-1（t）yt+1+an（t）yt=f（t）的差分方程，称为n阶非齐次线性差分方程． a1（t），a2（t），…，an-1（t），an（t）和f（t）t的已知函数，且an（t）≠0，f（t）≠0．
而形如yt+n+a1（t）yt+n-1+a2（t）yt+n-2+…+an-1（t）yt+1+an（t）yt=0的差分方程，称为n阶齐次线性差分方程． a1（t），a2（t），…，an-1（t），an（t）t的已知函数，且an（t）≠0．
a1（t），a2（t），…，an-1（t），an（t）均为常数（an（t）≠0），
则有yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=f（t），?摇?摇
yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+any■=0，称为n阶常系数非齐次线性差分方程和n阶常系数齐次线性差分方程．

5. 一阶、二阶常系数线性差分方程的解

引理1对于一阶常系数非齐次线性差分方程yn+1=ayn+b，a， b为常数且a≠1，若已知y1=c（c为常数），则yn+1=anc+■b．
证：（递推法）
若a≠1，
yn+1=ayn+b
=a（ayn-1+b）+b=a2yn-1+（a+1）b=a2（ayn-2+b）+（a+1）b=a3yn-2+（a2+a+1）b
=any1+（an-1+an-2+…+1）b
=any1+■b
=anc+■b．
引理2 对于二阶常系数齐次线性差分方程yn+2=ayn+1+byn，a，b为常数，若已知y1=m1，y2=m2（m1，m2为常数），则yn+1=■+■，λ1，λ2是方程λ2-aλ-b=0的两根．
证：（特点根法）
λ2－aλ－b=0是差分方程yn+2=ayn+1+byn的特点方程．
已知λ1，λ■是方程λ2-aλ-b=0的两根，则差分方程的解为
yn+1=c1λ■+c2λ■．
已知y1=m1，y2=m2，代入上式得
m1=c1λ1+c2λ2，m2=c1λ■+c2λ■，
解得
c1=■，c2=■，
yn+1=■+■．
■将概率理由转化为差分方程理由

1. 概率理由与差分方程二者间的联系

由差分方程的定义可知，差分方程是探讨函数在一给定点x=k上的函数值f（k）与在x=k附近的N个点上的函数值之间的联系的方程，其适用于解决概率中涉及离散型随机变量的理由．
2． 将概率理由转化为差分方程理由的途径
差分方程巧解概率理由的是如何将概率理由转化为差分方程理由．常见的有两条途径：

一、递推公式建立差分方程；

二、全概率公式建立差分方程．

（1）递推公式建立差分方程 递推公式：是指给出数列的第1项（或前若干项），并给出数列的某与它的前（或前若干项）的联系式来表示数列，表示数列的式子叫做数列的递推公式． 递推公式实质即为差分方程，建立递推公式先设所需求的函数值，再确定该函数值与其前面项间的联系．
例1 A、B两人拿两颗做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷的人再继续掷，若掷出的点数之和3的倍数，就由对手接着掷，次由A开始掷． 求第N次由A掷的概率为pn，求pn．
解：A、B两人掷出的点数和为3的倍数的情况有：1+2，2+1，3+3，4+2，2+4，5+1，1+5，5+4，4+5，6+3，3+6，6+6共12种情况，A、B两人掷可能出现的结果数是6×6=36种，则事件“A、B两人掷出的点数和为3的倍数”的概率为■=■；事件“A、B两人掷出的点数和不为3的倍数”的概率为1－■=■．
第N次由A掷有两种可能：（1）第N-1次由A掷且掷出的点数之和为3的倍数，则第N次仍由A掷；（2）第N-1次由B掷且掷出的点数之和不为3的倍数，则第N次由A掷．
第1种情况的概率为■pn-1；第2种情况的概率为■（1-pn-1）． 由分类计数原理得
pn=■pn-1+■（1－pn-1）=－■pn-1+■，一阶常系数非齐次线性差分方程．
由引理1知
pn=an-1c+■b，a=－■，b=■，c=p1=1， 则pn=－■n-1+■·■=■+■－■n-1．
例2 求N位二进制数中，数字0与1相邻的二进制数的个数．
解：设N位二进制数中，数字0与1相邻的二进制数的个数为f（n）． 对于二进制数而言，其位上的数0或1两种可能性．若位上的数为0，则要求条件的二进制数，位上的数为1，且后面的N-2位上的数0与1相邻，其个数为f（n-2）；同理，若位上的数为1，则要求条件的二进制数，位上的数为0，且后面的N-2位上的数0与1相邻，其个数为f（n-2）． 由分类计数法得：f（n）=f（n-2）+ f（n-2）=2 f（n-2）， 二阶常系数齐次线性差分方程．

1

λ2－2=0是f（n）=f（n-2）+f（n-2）=2f（n-2）的特点方程，解得λ1=■，λ2= －■，则
f（n）=c1（■）n+c2（-■）n．
又f（1）=2，f（2）=2，代入上式得■c1-■c2=2，2c1+2c2=2，
解得
c1=■，c2=■，
f（n）=■（■）n+■·（-■）n．
例3 有人玩掷硬币走跳棋的游戏．已知硬币1出现正反面的概率■，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，……，第100站． 一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币棋子向前跳动一次，若掷出正而，棋子向前跳一站（以k到k+1）；若掷出反面，棋子向前跳二站（以k到k+2），直到棋子到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败营）时，该游戏结束． 求棋子跳到第N站的概率．
解：设棋子跳到第N站的概率为Pn． 由题意知，P0=1，P1=■．
棋子跳到第N站有两种可能：（1）先跳到第N-1站，掷出正面，再跳到第N站；（2）先跳到第N-2站，掷出反面，再跳到第N站．
第1种情况的概率为■Pn-1；第2种情况的概率为■Pn-2． 由分类计数原理得Pn=■Pn-1+■Pn-2，二阶常系数齐次线性差分方程．
λ2－■λ－■=0是Pn=■Pn－1+■Pn－2的特点方程，解得λ1=1，λ2=－■，则
Pn=c1+c2－■n
又P0=1，P1=■；代入上式得
c1+c2=1，c1-■c2=■，
解得c1=■，c2=■，
则Pn=■+■－■n．
（2）全概率公式建立差分方程
设实验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的划分，两两互不相容，且P（Bi）>0 （i=1，2，…n），则
P（A）=P（B1）P（AB1）+P（B2）P（AB2）+…+P（Bn）P（ABn）
上式称为全概率公式．
全概率公式在概率论中占有极其的作用，运用全概率公式可把概率论中极其复杂的事件的求解分解成若干个互不相容的简单事件的求解． 全概率公式构造等式，建立起差分方程，以而为概率理由的求解寻求了另途径．
例4 一布袋中装有黑、白色的乒乓球各一只，每次以布袋中任取一球，取出的球不放回，放入一黑球，求第N次取到黑球的概率．
解：记An=第N次取到黑球；■=第N次取到白球． 设第N次取到黑球的概率为Pn．
显然，An∪■=Ω（必定教育论文事件），An∩■=■，则An，■是空间Ω的划分，且P（An）>0，P（■）>0，则由全概率公式知：P（An）=P（An－1）P（AnAn－1）+P（■）·P（An■）
P（AnAn－1）=■，P（An■）=1，
则Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=1－■Pn－1，一阶常系数非齐次线性差分方程．
λ+■=0是Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=－■·Pn－1的特点方程，解得λ=－■，则
Pn=c1－■n+■是差分方程的齐次解．
又自由项为1，所以设特解为D．
代入Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=1－■Pn－1得，D=■，
则差分方程的通解为Pn=c1－■n+■．
将P1=■代入Pn=c1－■n+■，
解得
c1=■，
则
Pn=■－■n+■．
例5 设电子在整数点集｛0，1，2，…，n｝上作随机游动． 已知质点在t时刻的位置是a，受外力的作用，电子的位置会发生变动． 假设电子以概率p移动到a+1，以概率1-p移动到a-1． 求质点以a出发在0被吸收的概率．
解：记B=质点以k点移动到k+1点，P（B）=p；■=质点以k点移动到k-1点，P（■）=1－p． 设Ak=质点以k出发在0处被吸收，P（Ak）=Pk．
显然，B∪■=Ω（必定教育论文事件），B∩■=■，则B，■是空间Ω的划分，且P（B）>0，P（■）>0，则由全概率公式知：P（Ak）=P（B）P（AkB）+P（■）P（AkB）
=P（B）P（Ak+1）+P（■）P（Ak－1），
即Pk=pPk+1+（1－p）Pk－1，二阶常系数齐次线性差分方程．
pλ2－λ+（1－p）=0是Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=－■Pn－1的特点方程，解得λ1=■，λ2=■，则
Pn=c11+■n+c21-■n．
例6 在N重贝努利实验中，设事件A出现的概率为p，求在N次试验中事件A出现偶次的概率．
解：记Bk=第K次实验时事件A出现偶次，P（Bk）=Pk；■=第K次实验时事件A出现奇次，P（■）=1－Pk． C=第K次实验时，事件A出现，P（C）=p；■=第K次实验时，事件A不出现，P（■）=1－p．
显然，Bk-1∪■=Ω（必定教育论文事件），Bk-1∩■=■，则Bk－1，■是空间Ω的划分，且P（Bk－1）>0，P（■）>0，则由全概率公式知：P（Bk）=P（Bk－1）P（BkBk－1）+P（■）P（Bk■）
=P（Bk－1）P（■）+P（■）P（C），
即Pk=Pk－1（1－p）+p（1－Pk－1）=p+（1－2p）Pk－1，一阶常系数非齐次线性差分方程．
由引理1知
Pn=an-1c+■b，a=1－2p，b=p，c=p1=0，
则
Pn=■．
3． 总结
上文实例，了运用差分方程解决概率理由是行之的策略教学论文． 而这一策略教学论文的是如何架起连结概率论理由与差分方程求解理由之间的桥梁． 了递推联系建立差分方程和全概率公式建立差分方程两种策略教学论文． 递推公式建立差分方程的是找出所需求的函数值与其前后项间的联系；全概率公式建立差分方程的是如何找到合适的“划分”，以而运用全概率公式把概率论中极其复杂的事件求解分解成若干个互不相容的简单事件求解，以而为概率理由的求解寻求了另途径．
建立起差分方程后，就要差分方程的形式求解． 常用的有递推法和特点根法，当然也可引理写出差分方程的解． 把概率论知识差分方程的知识来解决，使学科间的联系更加紧密，培养了转化化归能力和综合浅析能力，是新世纪素质教育的进展方向和必定教育论文要求．

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