论应用题数学思想在初中数学运用题中渗透征文

成功的教学不仅教会学生知识，而且要教会学生学习，即不仅要学生“学会”，而且要学生会学，要学生会独立、主动地去获取已有知识，会源于：硕士毕业论文www.618jyw.com
创造性地探索新的知识.要学生“会学”数学，就必须让学生掌握基本数学思想和方法，会提出问题、思考问题.数学思想是指人们在研究数学过程中对其内容、方法、结构思维方式及其意义的基本看法和本质的认识，是人们对数学的观念系统的认识，具有本质性、概括性.我们数学教师在传授知识的同时，必须明确、恰当地讲解与渗透数学思想方法.下面我以我送课下乡的课题“解直角三角形在观测问题中的应用”为例解析数学思想在应用题中的渗透.

一、教学重点、难点

1.重点：应用解直角三角形的有关知识解决观测问题.

2.难点：能够准确分析问题并将实际问题转化为数学模型，并体会其中蕴含的数学思想.

二、教学过程

1.比萨斜塔，情境导入，引导生疑

[设计说明：因为我那天背的包包正面正好是意大利著名的比萨斜塔，我就以此为引入，用幻灯片打出比萨斜塔的图片，并由学生回答关于比萨斜塔的故事，然后引出问题.]
生：比萨斜塔原本是个建筑败笔，却因祸得福成为世界奇观，后更因伽利略的自由落体试验而蜚声世界，成为旅游胜地.但随着时间的推移，斜塔倾斜角度加大.
师：比萨斜塔，斜而不倒，54.5 m的塔高，现在塔身偏离“自然姿势”已有5.2米.那同学们能根据老师刚刚提供的数据算出比萨斜塔的具体倾斜了多少度吗？（在幻灯片比萨斜塔的图片上取点构成直角三角形，提问让同学们思考实际问题怎样转化为数学问题来解决.）

2.生活问题，实例分析，巧用变式

[设计说明：联系实际，对问题情境的理解需要学生具有一定的空间想象能力，在审题过程中自然引出仰角、俯角概念，逐步向学生渗透数学建模思想，帮助学生从实际问题中，抽象出数学模型，将实际问题转化为数学问题来解决.例1、例2讲解，先引导学生分析，然后借助多媒体逐步展示解题过程，规范书写格式，强调解题完整性.变题分别是例1、例2交换题目条件与结论，情境不变的一种运用.以上问题的解题关键在于转化实际问题为数学问题，着重是示意图的画法及让学生说出题中每句话对应图中的哪条边或哪个角（包括已知什么和求什么），进而利用解直角三角形知识解决问题，并在解题后及时加以归纳，挖掘图形结构及条件的特点.]
例1直升机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A，B，O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB.
分析如图所示，要求AB长，先设法求出边AO与BO的长，然后相减即可，由条件可得∠PAO=30°，∠PBO=45°，又因为PO=450米，可选择上述两特殊角正切分别求得AO与BO.
解由题意得∠PAO=30°，∠PBO=45°.
∵POOA=tan30°，POOB=tan45°，∴OA=450tan30°=4503，OB=450tan45°=450.
∴AB=OA-OB=450（3-1）m.
答：大桥的长AB为450（3-1）米.
（就题目中出现的“俯角”先通过链接加以介绍，引导学生分析，强调解题完整，要写“答”，注意单位，指明这些都是中考失分的重要因素.）
变题1直升机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，且A，B，O三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO.
请学生自行分析解决，并交流不同解法，引导学生注意方程思想的运用.
（本题应注意方程思想的运用，可设所求PO长为x，由45度角的正切或直接由“等角对等边”可求得OB也等于x，然后再由30度角的正切列出方程，即xx+400=33，熟练后也可以直接列3x=x+400，所以x=2003+200（m））.
变题2中考链接（2011·常德）青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言弃.一天，灰太狼在自家城堡顶部A处观察羊羊们时，发现懒羊羊在大树底下睡懒觉，此时，测得懒羊羊所在地B处的俯角为60°，然后下到城堡的C处，测得B处的俯角为30°.已知AC=40米，若灰太狼以5m/s的速度从城堡底部D处出发，几秒钟后能抓到懒羊羊？（结果精确到个位）
（本题估计学生会出现两种不同解法，直接用例题1的方法或者是按变题1用方程思想，即设CD=x，则BD=3x，AD=x+40，再解两个直角三角形便可以求出x，从而求出BD边，再得出结果大约为7秒.）
[注重变题2的一题多解教学，从学生作业中展示不同解法，让学生有更为广阔的解题思路.]
例2热气球在高为200米的大楼AB左侧P点处，从热
气球处测得大楼的顶部仰角为45°，测得大楼底部俯角为30°，求热气球与大楼之间的水平距离.
（列方程关键在于找出等量关系，本题可以以AB长为等量关系，充分利用好45度角的特点，即PD=AD，如果设PD=x，则AD=x，由30度角可表示BD=33x，从而可以列出方程x+33x=200，x=300-1003（m）；设BD=x，则AD=PD=200-x，3x=200-x，得x=1003-100，不能忘记求PD.）
根据以上解题过程，列举题中三个示意图，分析归纳这类问题的共同点.从而初步渗透数学建模及方程思想，并归纳出这类图形的结构特点.
变题2中考链接（2011·江汉区）五月石榴红，枝头鸟儿歌.一只小鸟从石榴树上的A处沿直线飞到对面一房屋的顶部C处.从A处看房屋顶部C处的仰角为30°，看房屋底部D处的俯角为45°，石榴树与该房屋之间的水平距离为 33米，求出小鸟飞行的距离AC和房屋的高度CD.
（本题估计绝大部分学生会按照例题2的方法，通过设未知数列方程从而求出答案：AC=6米，CD= 3+33 米.）
（将例题1、2及3个相关变题中的图形列举后加以分析，从每个问题所提供的条件特点，结合图形结构特征，可归纳出这类问题：（1）示意图为有一个公共边的两个直角三角形，分布位置有两种，位于公共边同侧或异侧；（2）所给条件一般为两角一边，且边一般为已知角的邻边或对边（非直角三角形斜边），此时选用的三角函数关系多为正切.）

3.例题加深，拓展延伸，留下思考

[本题是在上述问题基础上稍加变化，加入这道中考题作为思考题，除了巩固所学，更重要的是让学生对中考题有一个正确认识，中考题不等于难题.]
思考（2011綦江县）如图，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE=21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD.（结果保留根号）

4.总结提高，方法小结，思想渗透

[本节课重点是让学生掌握如何把实际问题转化为数学问题，数学建模思想必不可少，具体操作方法就是抽象出几何图形，就本课而言主要是两个三角形的两种不同组合图形.此外在解直角三角形时，也顺带渗透了方程思想.]
（1）解题思想
从实际问题抽象出数学模型，将实际问题转化为数学问题求解.
解直角三角形用的数学思想有：数形结合思想、方程思想、转化（化归）思想.
（2）解题方法小结
A.把实际问题转化为数学问题的两个方面（图形转化、条件转化）.
B.把数学问题转化为解直角三角形的处理方法（构造直角三角形）.
（将实际问题转化为数学问题，关键要画好示意图，从实际问题抽象出数学模型，如果是单个直角三角形，则直接解直角三角形，如果是一般三角形，甚至是梯形或组合图形，则通过作高将其转化为直角形再求解，而解直角三角形的常用方法是结合方程进行计算）.