试议命题数学命题转化案例综述

数学新课程标准对数学思想和思维能力的培养提出了明确的目标和更高的要求. 如何在数学教育实践中贯彻落实这一目标和要求是值得我们探索的. “转化问题”是数学的一种很重要的思想和有效的方法. G.波利亚一再指出：“当原问题看来不可解时，人类的高明之处就在于会迂回绕过不能直接克服的障碍，就在于能想出某个适当的辅助问题. ”这就是说，当我们碰到困难的问题时，要善于变化问题，化难为易、化繁为简、化陌生为熟识、化抽象为具体，从而给予解决. 可以说，解决数学问题的过程，就是一个不断转化问题的过程.
如在数学均值不等式教学过程中，有这样一个问题：设x1，x2，…，xn都是正数，求证： ++…++≥x1+x2源于：论文www.618jyw.com
+…+xn.
这是1985年的全国高中联赛第5大题. 在这个有n项且看起来很困难的不等式两边同加x1+x2+…+xn，把它整理转化为等价问题：求证（+x2）+（+x3）+…+（+xn）+（+x1）≥2x1+2x2+…+2xn. 这样就很容易用二项均值不等式来证明了.
“转化问题”思想方法的养成，不仅对数学非常重要，而且对于工作、生活和社会问题的解决有着重要和长远的意义. 它奠定了人的可持续和终身发展的思想基础，完全符合现代教育理念. 笔者将在原有的《谈命题转化》和《论数学命题转化的方式》基础上，结合数学新课程标准和当前中学数学教学的一些典型实例继续进行探讨，整理、阐述一些常用的转化思维方式.

一、转化成熟识的等价命题

问题的难易，有时是由认识程度而影响的，如果所给的问题没有经历过，常常会使我们的思维不顺而无从下手. 数学也是如此，如果给出的命题感到陌生，将会影响数学思维方法. 此时要进一步审题，将其等价转化为熟识的命题.
例1 设k∈R，关于x的方程x4-2kx2+k2+2k-3=0有实根，求其实根的取值范围.
分析 原方程如果看成x的4次方程，就比较陌生而复杂，但看成k的二次方程，就是熟识的问题了. 问题转化为：
k2+2（1-x2）k+（x4-3）=0有实数解，求x的范围.
由Δ=4（1-x2）2-4（x4-3）≥0，得x2-2≥0，
所以x的取值范围是-≤x≤.
由此可见，陌生到熟识的等价转化是准确快捷解决问题的关键.

二、转化为易解的等价命题

当给出问题比较困难时，可以通过不断的等价转化，从而变为容易解决的问题.
例2 已知曲线Ck的方程为+=1，试证明对坐标平面内任意一点（a，b）（ab≠0），总存在Ck中的一个椭圆与一条双曲线都通过这点.
分析 乍看本题似难找到方法.可考虑由题设知k<4，4

三、化繁为简的转化

解决问题的过程是正确使用条件、经过合理的途径得到结论的过程，也就是条件和结论之间的“桥梁”沟通，有些问题的条件、结论比较复杂，或者一般的方法运算量大且容易出错，此时可以将条件、结论转化为简单熟知的形式，以寻求较为简洁合理的方法.
例3 已知x+y+z=++=

1. 求证：x，y，z中至少有一个是

分析 问题的条件到结论不易沟通，可从两方面双向转化，逐步接近.
条件?x+y+z-1=0且xy+yz+zx-xyz=0.
结论?（x-1）（y-1）（z-1）=0?（x+y+z-1）+（xyz-xy-yz-zx）=0.
可见，只要把条件的两个式子相加即得结论. 这样就把原问题转化成了非常简单的问题了.

四、转化成反命题

有些问题直接难以解决，可逆向思维，考虑转化成它的反命题来尝试解决.
例4 试求常数m的取值范围，使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m（x-3）垂直平分.
分析 弦被直线垂直平分，就是弦的两个端点关于直线对称. “不能”的反面就是“能”. 此命题可转化为先解决其反命题：“求使曲线y=x2上存在两个关于直线y=m（x-3）对称的点时的取值范围. ”容易求得m<-.
所以原命题m的取值范围是m≥-.

五、利用数、形关系来实现命题转化

用数研究形，用形来表达数，是数学的一个重要特质. 数形结合是一种重要而有效的数学方法，数与形的转化是这种数学思想的很好体现.
例5 若方程lg（x-1）+lg（3-x）=lg（a-x）有唯一实根，试确定实数a的范围.
分析 原方程化为-x2+4x-3=a-x（1分别作y=-x2+4x-3和y=a-x（y>0）的图象.
当直线y=a-x位于l1时，a=1；位于l2时，a=3.位于l3 时，a=. 由图1得a=，或1

六、转化为具体的命题

有些命题的给出形式比较抽象或者是实际应用的问题，在强调综合能力培养的现代数学中，将会更多地出现. 要解决它就必须学会将抽象或实际的语言表述转化为具体的数学语言表述，进而转化成具体的数学问题.
例6 有两个大米经销商，每次在同一生产基地进米，甲每次进米1000千克，乙每次进1000元钱的米. 若每次进米不全相同，问若干次进米后，哪一个进米的方式更经济？分析 这是个具体的应用命题，要审清题意，将其转化为具体的数学命题.
实际上要计算两人在进了n次米后平均每千克的进价. 设每次每千克米的分别为a1，a2，…，an元，则甲的平均每千克为
=元.
乙的平均每千克为=元.
这样就转化成了具体的数学命题：
“比较与的大小”. 这可由基本不等式得到结论.

七、转化为特殊情况

例7 点P为源于：论文资料网www.618jyw.com
双曲线-=1右支上的任一点，F1，F2为左、右焦点，则△F1F2P内切圆心的横坐标是 .
分析 正常解法是由内切圆心作垂直于x轴的垂线段，设垂足为M，由平几知识可得：MF1-MF2=PF1-PF2=2a，∴xM+c-（c-xM）=2a，∴xM=a.
作为一个填充题，以上的解法结合了解几和平几的知识，有一定的难度，在平常的教学中，这是正确的方法. 但在考试时为了节约时间和准确解答，还可以把P点取在右顶点这一极端位置上，则三角形的内切圆退化为右顶点，横坐标只能是a.
又如“过-=1的左焦点作弦长为2的直线有几条？”
作图分析可知过两个顶点的弦长恰为2，所以交于不同支的只有1条. 又交于同一左支的最短弦长（过左焦点垂直x轴）为，所以交于同一左支的有2条，符合条件的共有3条.
可以根据以上数据变化，进一步探讨其他情况.
八、引入辅助量实现命题转化
在利用原命题的变量和条件式难以解决时，借助辅助变量常常可以将其转化成熟识和易解决的命题.
例8 已知a，b，c都是正数，a2+b2=c2，求证：an+bn2，n∈N）.
分析 由（）2+（）2=1，可令=sinθ，=cosθ.
∵0∴sinθ∴（）n+（）n=sinnθ+cosnθ九、利用图形割补转化命题
平面几何和立体几何中的面积和体积的推导应用了图形分割和添补的思想方法. 这是一种很有用的数学转化方法，实现这种转化的关键是运用图形及几何体的内在联系.
例9 凡两条对棱具有给定长度，且落在两条固定直线上的所有多面体的体积相等（斯坦纳定理）.
分析 要考虑把条件放在具体的几何体中来分析，把多面体补成平行多面体，先考虑平行多面体的体积，作为平行多面体的一部分的多面体体积也随之求得.
如图2，设异面直线l与g成α角，距离为h，则多面体ABCD的对棱AB，CD分别在l与g上移动时，AB，CD，α，h均为定值. 将其补成平行六面体，ABEF-CGFD.
∵CG∥l，∴∠DCG=α（或π-α）.
又面CGHD和面ABEF间的距离等于l与g间的距离h，∴V多面体=V平行多面体=
CG·CD·hsinα=AB·CD·sinα即为定值.
例10 已知锐角△DEF的边长为2a，2b，2c各边中点为 A，B，C，沿AB，AC，CB，把△DEF折叠成多面体 GABC（D，E，F重合于点G），求四面体VGDEF的体积.
分析 因为四面体的体积一般要用到底面积和高，而折成的四面体 GABC是不规则的，难以求出底面积和高，可以考虑把多面体 GABC补成 GDEF，显然有VGDEF=4VGABC ，而 GDEF是规则的四面体，容易求得体积.从而VGABC =VGDEF=
.
命题转化的方式多种多样，实质是揭示数学知识之间、方法之间的内在联系. 需要指出的是在认识了转化的多样性和有效性的同时，必须注意到转化过程的等价性，限于篇幅，本文不再展开，具体转化时予以重视即可.