简析探究对教材一个探究内容设计与反思

【摘要】探究内容的设计，需要灵活、机智，处理得当，能起到画龙点睛的作用.
【关键词】探究；成就；反思
高中《数学》人教A版必修2第

2.3.2节“平面与平面垂直的判定”中，教材在例3完成后安排了探究问题：

图1如图1，已知：AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直？为什么？
在处理这个探究问题时，感觉比较纠结，如果先讲例题，那么探究的意义就不太明显了，如果展开探究活动，对本节课的计划有较大的影响，如果为了完成任务而探究，又感觉比较草率，有点浪费研究这个几何模型的机会.因此，在这里我把这个探究活动安排在面面垂直的性质学完之后，当作一个研究性学习课，安排学生从探究如何证明空间的线线垂直、线面垂直、面面垂直入手，通过长方体模型中的垂直关系，层层递进，探索常见的空间几何体中的垂直关系.
探究一：四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面正方形ABCD于A，且PA=AB.
①试判断图中有哪些线线垂直，并简单说明；
②试判断图中有哪些线面垂直，并简单说明；
③试判断图中有哪些面面垂直，并简单说明；
④如果PA=AB=2，P，A，B，C，D在同一个球面上，能否通过计算得到这个球体的表面积和体积？
①试判断图中有哪些线线垂直，并简单说明；
分析：这个模型是长方体模型的一个重要组成部分，要得到线线垂直，可以考虑哪些线线、线面、面面之间的关系？根据所学内容，学生自然能想到：①直角，②线面垂直.从直角入手，得到AD⊥AB，AD⊥DC，BC⊥AB，AD⊥PA， CD⊥BC，
PA⊥AB，PA⊥BC， PA⊥CD.
从线面垂直入手，有PA⊥面ABCD.
DA⊥面PABDA⊥PB，
BC⊥面PABBC⊥PB，
AB⊥面PADPD⊥AB，
CD⊥面PADPD⊥CD.
②试判断图中有哪些线面垂直，并简单说明；
由①，DA⊥面PAB，BC⊥面PAB，AB⊥面PAD，CD⊥面PAD，只需要在前面的线线垂直中选两个条件，就能得到相应的线面垂直.
③试判断图中有哪些面面垂直，并简单说明；
围绕判断面面垂直的结论：“如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.”由线面垂直入手，如DA⊥面PAB，DA面PAD 面PAD⊥面PAB，根据相同的思路，步步深入，可以得到其他的面面垂直关系.
④如果PA=AB=2，P，A，B，C，D在同一个球面上，能否通过计算得到这个球体的表面积和体积？
这个问题的产生，是为了回顾长方体的外接球的有关计算，在前面已经学了球的表面积和体积的知识，启发学生利用切割长方体的方法得到，该模型的外接球就是和它同底同高的长方体的外接球，顺利地得到结果.
探究一的设计意图是为了让学生积累解决垂直问题的经验，并获得研究问题的一般方法，由浅入深，层层递进.完成了探究一后，设计练习，达到意识的强化与巩固，增加自信心，收获成就感.
如图2，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面正方形ABCD于A，且PA=AB.
（1）若E在PB上，AE⊥PB，F在PC上，AF⊥PC.证明面PBC⊥面AEF.
（2）若PA=AC=2，AB=4，求二面角A-PB-C的正弦值和二面角P-BC-A的大小.
（3）证明P，A，B，C四点在同一球面上.
带着前面的经验，研究问题二的探究过程.
探究二：
图2问题一：已知在三棱锥S-ABC中，∠AC源于：硕士毕业论文www.618jyw.com
B=90°，又SA⊥平面ABC，
AD⊥SC于D，求证：AD⊥平面SBC.
分析设问1：能否找到面SBC内的两条直线，都和直线AD垂直？自然能得到AD⊥SC，只需要寻找下一个垂直，从已知条件出发，给出设问2：AD⊥BC吗？为什么？解决这个设问，就解决了本探究的证明思路.
问题二：解答刚开始提出的课本探究.
如图1，已知：AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？
学生通过问题

一、能发现面SAC⊥面SBC，并能找出其他的面面垂直.

问题三：已知在三棱锥S-ABC中， SA⊥平面ABC，又平面SAC⊥平面SBC.
能得到AC⊥BC吗？请说明理由.
分析：借助问题一中得到AD⊥BC的过程，启发学生得到证明BC⊥平面SAC的思路，接下来，就如何证明BC⊥平面SAC展开问题探究，发现了问题的解决过程.
最后，学生把整个过程完善，整理成成果，就是一个很优秀的研究性学习作品，在学习中体验了成就感.
反思：其实教材中有许多“思考”、“探究”，都可以作为很好的研究性学习案例，只要设计恰当，定能达到锦上添花，画龙点睛的效果，因此，在研究教材教法，准备教学环节时，需要做个有心人.