探讨数列高等数学中数列极限定义处理设计

摘要：数列极限是由初等数学向高等数学过渡的关键内容，它是数学由具体到抽象、由有限到无限的桥梁，是微分学的基础。本文浅谈高等数学中数列极限概念的教学处理。
关键词：高等数学；极限；数列极限

一、数列极限在高等数学中的重要作用

高等数学开始通过介绍集合与函数，在高等数学的学习上，给大一新生一个舒缓的阶段，期间平稳的过渡到相关邻域、初等函数、复合函数等新的概念使得学生进入高等数学的学习。紧接的内容就是数列极限。数列极限是由初等数学向高等数学过渡的关键内容，它是数学由具体到抽象、由有限到无限的桥梁，是微分学的基础。对于数列极限概念的理解，直接关系到学生今后学习高等数学的成败。
高等数学学习吃力的学生，普遍反映都是在接受数列极限时对数列极限概念理解不透彻，从而使得后面的学习举步艰。因此，数列极限概念的学习是至关重要的。

二、数列极限定义的给出

1 引入极限思想
极限思想是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。通过详细讲解我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形来推圆面积的方法—割圆术，来说明极限思想在几何学中的应用。通过引入求解直线运动的瞬时速度问题，指出极限思想在物理问题中的应用。通过以上引入，就可以指出在解决实际问题中逐渐形成的这种极限思想。他是高等数学中的一种基本思想，重要思想必须要作进一步的学习。
2 数列极限的描述性定义
给定以下数列：
通过观察可以发现，当 无限增大时时，数列 的通项 无限地接近于 。此时就可以给出数列极限的描述性定义：
设有数列 与常数 ，如果当 无限增大时， 无限地接近于 ，则称常数 为数列 的极限，或称数列 收敛于 ，记为
或
如果一个数列没有极限就称数列是发散的。
为了后面其他知识的学习，在数学上我们需要引入数列极限的精确定义。就是用对应的数学语言将数列极限的描述性定义进行相应的处理，从而给出数列极限的 定义。
3 数列极限的 定义
由于实数和数轴上的点是一一对应的，设 在数轴上的对应点为 ， 在数轴上的对应点是 ，数轴上两点之间的距离为两点对应实数差的绝对值，即：
两点无限接近，即两点之间的距离无限小，即 无限小。
“当 无限增大时， 无限地接近于 ”，即至多只有有限项不能很好的接近于 。即任意给定正数 ，至多只有有限项不能满足 。有限项可以是一项，可以是两项也可以是多项。此时便可以得到数列极限的 定义：
设 为数列， 为一个确定的实数。若对任意给定的正数 ，总存在正整数N，使得当 时有 ，
则称数列 收敛于 ，定数 称为数列 的极限，并记作 或 读作“当 趋于无穷大时， 趋于 或 的极限等于 ”。
定义给定后，举例请同学们用数列极限的 定义验证数列的极限。如证明 。
教师可以通过例子加深学生对数列极限的 定义的理解。对此，还应着重注意下面几点：
（1） 的任意性。 可以任意的小，说明 与 可以接近到任何程度。但是，尽管 有其任意性，但一经给出，就暂时被确定下来，以便依靠它来求出 。
（2） 的相应性。一般说， 随着 的变小而变大，因此常把 写作 。 的确定一般是通过 给定。
（3）几何解释：“当 时，恒有 成立”表示：所有下标大于 的项 都落在邻域 内；而在 外，数列 中的项至多只有 项（有限项）。反之，任给正数 ，若在 之外数列 中的项只有有限个，设这有限项的最大下标为N，则当 时有 ，即当 时，恒有 成立。由此几何解释可以得到数列极限的另外一个等价定义：
任给 ，若在 之外，数列 中的项至多只有有限项，则称数列 收敛于 。
由此定义得到：若存在某 ，使得数列 中有无穷多项落在 之外，则数列 一定不以 为极限。
在文字书中经常出现“任意”和“存在”二词，所以引入符号“ ”和“ ”，同时给出下面结论：
这样在后面的证明过程中，就可以简化表示。
对于定义的理解和掌握，要靠相关应用才能巩固。因此，要提醒学生们多做练习，尝试学习用数列极限的 定义来证明数列极限的相关问题。同时结合收敛数列的性质和数列收敛的条件等内容，来反馈掌握数列极限的概念。
参考文献
刘亚敏 浅论极限在高等数学中的作用 《数学学习与研究》2013. 9
同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社201

2.5.摘自：毕业论文模板www.618jyw.com