简述公式在平方差公式教学中渗透数学思想办法生

【摘要】 在平方差公式教学中渗透数学思想方法的做法：设计竞争情境，让学生在计算比赛中发现规律，渗透探索发现的研究方法；对符号□、△进行变化，渗透变量变换思想；引导学生对平方差公式进行证明，渗透逻辑思维方法；在平方差公式的应用中渗透整体思想.
【关键词】 平方差公式；数学思想方法；教学设计
学习数学从根本上讲就是获得数学的思想和方法，并用以指导工作和生活.因为人们在社会生活中需要数学式的思维，也就是用数学的思想和方法去看世界.
中学数学内容（基本要求）的整体结构有两根强有力的支柱，即数学知识与数学思想方法.数学思想方法产生数学知识，数学知识又蕴载着思想方法，二者好比鸟之双翼，须臾不离，缺一不可.从教育的角度来看，数学的思想方法比数学知识更为重要. 这是因为知识的记忆是暂时的，思想与方法的掌握是永久的；知识只能使学生受益于一时，思想与方法将使学生受益于终生.日本学者米山国藏指出：“无论是对于科学工作者、技术人员还是数学教育工作者，最重要的是数学的精神、思想和方法，而数学的知识只是第二位.”世界著名数学家波利亚在60年代曾作过统计，普通中学的学生毕业后在其工作中需要用到数学的（包括数学家在内）约占全部学生的30%，而其余的70%则几乎用不到任何具体的数学知识.正是基于这样的分析，波利亚认为：“一个教师，他若要同样地去教他所有的学生——未来用数学和不用数学的人，那么他在教解题时应当教三分之一的数学和三分之二的常识（即指一般性的思想方法或思维模式）.”这就是说，在数学教学中，必须重视数学思想方法的教学.本文就“平方差公式”教学（略去了其详细的教学过程）中如何渗透数学思想方法作一探讨.

一、设计竞争情境，让学生在计算比赛中发现规律，渗透探索发现的研究方法

在数学中，探索发现是一种基本的研究方法. 在数学知识的教学中，有意识引导学生进行观察、归纳、发现，对培养学生的创造能力十分有益.
在“平方差公式”这节课教学的开始，教师用电脑显示下面的十道计算题：
让学生之间开展竞赛，比准确，比速度，比技巧，要求学生在十分钟内做完，并请做好的立即举手，对解题既快又准确的同学，教师问其成功的秘诀，请他们说出在解题过程中发现的规律，并有意用符号□、△表示其规律，即（□ + △）（□ - △） = □2 - △2.
设计竞争情境，使枯燥的运算变得生动活泼.学生在观察、归纳、猜想的探索中理解了平方差公式的结构特征，同时也提高了数学研究的能力.

二、对符号□、△进行变换，渗透变量变换思想

变量与常量既对立，又统一. 辩证地看待字母——它具有常量与变量的双重身份，常给我们研究问题带来很大的方便.在平方差公式的学习中，学生往往不能用“变”的观点来看待平方差公式中的字母，因而往往也不能用公式的结构特征来判断题目能否使用公式. 鉴于学生对平方差公式的理解不能一步到位的原因，笔者先有意识地用学生在小学里学过的、熟悉的符号□、△来表示发现的规律，再引导学生对符号□、△进行变化而得到不同的等式. 目的是有意识地渗透变量变换的思想方法，同时也为下面运用平方差公式解题而涉及的整体思考方法作铺垫.
于是，令□、△分别变成100和1，得到等式
得到上面的等式后，教师让学生归纳得出：□处是同一数或式子，△处也是另一个数或式子. 然后教师启发学生用字母来表示发现的规律（使学生理解一个字母可以代表一个数，也可以代表一系列的数或式子等），得到（a + b）（a - b） = a2 - b2.接着，教师又请学生对公式（a + b）（a - b） = a2 - b2进行命名，由此引出课题：平方差公式.
引导学生将发现的规律（□ + △）（□ - △） = □2 - △2 中的符号□、△看作变量，进行变量变换，能使学生正确理解公式中字母的广泛含义，理解其背后隐含的数学思想方法.

三、引导学生对平方差公式进行证明，加强逻辑思维方法

经过学生自己发现的公式，无论从思想感情上，还是在学习兴趣上，都要比直接给出公式再加以证明更富有吸引力. 数学创造往往开始于不严格的发散思维，而继之以严格的逻辑分析思维，即收敛思维，有了猜想的结果，猜想正确性的证明就变成了学生自发的需要.先猜，后证，这是大多数的发现之道.于是有
证法1：（a + b）（a - b） = a2 + ab - ab - b2 = a2 - b2.
证法2：（a + b）（a - b） = （a + b）a - （a + b）b = a2 + ba - ab - b2 = a2 - b2.
证法3：引导学生将课前发给的图形（硬纸板，图甲）沿虚线剪开，然后用剪开后的两个长方形拼成图乙的长方形得到a2 - b2 = （a + b）（a - b）.
优美的图形，无字的证明，这不但能提高学生的形象思维能力，而且给学生以数学美的熏陶，同时数形结合的解题能力也得到了提高.

四、在平方差公式的应用中渗透整体思想

整体的思想方法是指在研究问题时有意识地放大考察问题的“视角”，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式，整体结构，并注意已知条件及待求结论在这个“整体”中的地位和作用，然后通过对整体结构的调节或转化使问题获解. 有些数学问题，表面上看较复杂，若能注意到题目中的整体所在，利用整体思想去把握，则能化繁为简，化难为易.通过上面对符号□、△进行变换，把字母变成数或代数式的铺垫，现在反过来，将某些代数式看作一个字母，利用整体思想去思考，那么学生的思维也就自然而流畅了.
于是，设计下面的问题让学生计算，即
通过上面这些问题的解决，启迪了学生的思维，加深了学生对平方差公式的理解，使学生从单纯的死记硬背走向深刻理解公式本质的记忆.
当学生经历一个活动过程之后，并不能马上形成活动经验，但在教学时适度引导，例如，通过前面对符号□、△进行变换活动的铺垫，再让学生在平方差公式的应用中运用整体思想，这样学生就可以迅速感悟整体的数学思想方法，并把这个活动过程逐步内化为经验.
学生数学思想方法水平的提高是学生创新能力发展的主要内容.因此，在数学教学中，必须加强数学思想方法的教学，提高学生的思维调控水平，从而培养他们的创新意识和创新能力. 在数学思想方法的教学中，教师应大胆创设宽松的气氛，使学生敢于、乐于思考和讨论，让他们的思维进入自觉的思维情境中，有效地学习数学思想方法.
【参考文献】
宋乃庆，朱德全.论数学策略性知识的学习[J]. 数学教育学报，9（2）. 摘自：学士论文www.618jyw.com