阐释赋予赋予数学活动经验“生长力量”

陈 瑶：中学高级教师，武汉市学科带头人，江汉区小学数学教研员。在省、市、区举办的小学数学优质课竞赛中，均获得一等奖的好成绩，曾多次执教国家、省、市、区级示范课、观摩课、研究课，多篇论文、案例、教学设计获全国、省、市、区级

一、二等奖。

著名哲学家、教育家约翰·杜威在《主义与教育》一书中写到：“教育就是经验的改造或改组。这种改造或改组，既能增加经验的意义，又能提高指导后来经验进程的能力。”在数学教育中，数学基本活动经验可以是使人受益终身的、深深铭刻在头脑中的数学的精神、思维方法、研究方法、推理方法，甚至经历的挫折等，也可以是从整体意义上对数学活动的领悟。
史宁中教授指出：“基本活动经验是指学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验。”张奠宙教授指出：“数学活动经验是指在数学目标的指引下，通过具体事物进行实际操作、考察、思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识。”数学活动经验就是指学习者在参与数学活动的过程中所形成的感性知识、情绪体验和应用意识。数学活动经验对于数学活动的顺利探究、数学思想方法的领悟、学生数学观念的形成等有着十分重要的作用。
数学课堂是学生积累数学活动经验的主要平台。要使学生真正理解数学知识，建立自己对数学现实和数学学习的直觉，感悟数学的理性精神，形成创新意识和创新能力，就应该关注数学活动经验的积累与提升，赋予数学活动经验“生长的力量 ”，采取行之有效的方法和策略。

一、严谨合理的操作活动，丰富直观与感性经验

感知，是人们深入认识事物本质的开端。在数学学习中，小学生认识事物带有具体性和形象直观性的特征。因此，学习抽象的数学时，通常要从操作活动中获得和积累一些感性经验，丰富学生直观与感性认识，以此作为升华到理性认识的基础。
1. 在生活常识中提炼出数学实质。数学是从客观世界的数量关系与空间形式中抽象、概括出来的，小学数学大都能直接在客观世界中找到它的“原型”。但“生活常识”还不是数学，“生活常识”要成为数学，必须经过提炼和组织，从而显现出数学实质。在《三角形的特性》的教学中，笔者作了以下的尝试：
（课件呈现生活中三角形特性应用的图片，如下）
师：这些物体中都不约而同地用到了三角形的结构，其中藏着怎样的奥秘呢？
师：用小棒分别拼摆出一个三角形和一个四边形。分别拉一拉，你发现了什么？
生：四边形轻轻一拉就变形了，而三角形没有变形。
师：小组内将你们的三角形比一比，你有什么发现？
生：这些三角形大小、形状完全相同。
师：为什么每位同学拼出的三角形大小形状完全相同呢？
生：因为这些小棒的长短相同。
师：看来，只要是同样长的三根小棒，拼出来的三角形就会完全相同。也就是说三角形的三条边的长度确定了，三角形的形状大小也就确定了，这就是三角形的重要特性——三角形的稳定性。
传统教学是通过“拉不动”来感受“三角形的稳定性”，这样的实验往往会造成理解上的歧义。“拉不动”、“不容易变形”只是“三角形稳定性”的外在表现形式，它可以直观地解释“稳定”的意义。但是，学生的体验和感悟并不能只停留在“拉不动”这一物理现象的层面上，我们要让学生从浅层的活动经验中提炼出“三角形稳定性”的数学实质。
接下来，在教师合理的设计和引导下，通过“比一比”的活动，进而将学生们的目光聚焦到三角形的几何性质上。通过三角形与三角形的比较，四边形与四边形的比较，三角形与四边形的比较，学生们深刻地体验和感悟到：只要三角形的三条边的长度确定，这个三角形的形状和大小就是确定的，三角形的稳定性即唯一性，这才是三角形稳定性的数学实质与内涵。
2. 在动手操作中抽象出数学概念。数学概念具有抽象性、复杂性、严密性的特点，它蕴含着丰富的内涵，一切数学规则的研究、表达与应用都离不开数学概念。在数学课堂上，开展科学有效的操作活动，把抽象的概念变成看得见的“数学事实”，这样才能卓有成效地帮助学生建立数学概念。

二、积极有效的探究活动，融合操作与思考经验

布鲁纳说：“探索是教学的生命线。”教师在数学课堂教学中应精心设计并有效组织探究活动，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让操作经验与思考经验自然融合，为学生学会学习和掌握科学方法，为学生终身学习和发展奠定基础。
1. 让简约的探究活动承载起深厚的思考。有幸聆听了特级教师华应龙老师执教的《三角形三边的关系》一课，笔者深刻感到数学活动的设摘自：毕业论文文献格式www.618jyw.com
计简约而不简单、抽象而不空洞。
探究之一：怎样用两根纸条围成三角形？
翻开教材，再走进我们的课堂看看，教师们都习惯拿出与教材上长度完全一致的3根小棒进行操作探究。华老师的探究活动的设计却出人意料，他提供给学生的学具只有两根纸条，而且每个小组的纸条材料不同，有的同样长，有的一长一短。
这看似微小的变化却承载着对数学本质深厚的思考，华老师创造性地跳出了思维定势，忽略三条边的具体长度和长度计算，将着力点放在了两边之和与第三边的关系上，我们为华老师的独具匠心和深厚的数学积淀而叹服。
探究之二：为什么不剪短的那张纸条？
长短不同的两张纸条，大多数孩子会选择剪长的。“为什么要剪长的？为什么不剪短的那张纸条？”“怎样才能围成三角形呢？”“为什么剪长的就行了？”华老师因势顺导，借助学生已有认知经验，充分展现学生们的思维和见解，顺利认识到三角形的三边中，其中较短的两边之和必须大于第三边。
探究之三：就差一点点行吗？
当有一名学生用两根同样长的纸条材料展示他拼成的“三角形”时，华老师没有回避错误，也没有刻板地解释说明，而是放大投影，引导学生借助直观展开想象。“较短的两根纸条能接上吗？接头的点在哪儿？还拱得起来吗？”“就差一点点行吗？”看似波澜不惊的课堂，此时已是暗潮涌动。学生们闭上双眼，借助“第三只眼”展开空间想象，他们发现两张纸条相接的两个端点在同一水平线上，成了一条直线，因此，两边之和等于第三边时是围不成三角形的。华老师语重心长地说：“看来，学习数学单凭眼睛还不行！”是啊，基于操作经验之上的深层次思考显得更为重要。 大道至简，真水无香。看得出，简约数学探究活动不仅是一种教学策略，更是学生活动经验的再次重组和深度思考。
2. 让开放的探究活动蕴涵着丰富的感悟。在《奇妙的图形密铺》一课中，就有开放式的探究活动：
（1）出示七巧板，介绍七巧板中有5种不同的形状，并分类编号（如右图1）。
（2）猜想：七巧板中哪两种不同的图形可以密铺？
（3）验证：任意选择其中两种图形组合起来，小组合作尝试密铺。
（4）欣赏评价，交流总结。
生1：我发现不仅用一种平面图形能密铺一个平面，用两种甚至更多的图形也能密铺成一个平面。
生2：相同的平面图形有些能够密铺，不同的平面图形有些也能够密铺。
生3：即使选择了相同的图形，数量不同，方法不同，密铺出的图案也不同。
上面的数学活动，不但是对两种图形组合搭配、进行深入的动手探究，也是对图形密铺的设计与欣赏。同时，活动中渗透着几何变换的思想，使经历这一过程的学生获得了丰富的操作体验与思考经验。

三、缜密深入的思维活动，提升策略与方法经验

活动经验是一种过程性知识，它具有累积性。但数学活动经验仅有积累是不够的，还需要经过数学化、逻辑化的提升，才能形成概括性经验。
1. 演绎推理中，将知识经验提升为策略经验。隐性的策略经验往往寓于显性的知识经验中，它是在缜密的逻辑推理和活动经验的不断积淀提升中逐步形成的。
人教版五年级下册的《数学广角》中编写了《找次品》的内容，“找次品的策略”是指“把含有次品的物品尽量平均分成3份，能保证找出次品且所用的次数最少。”笔者围绕“找次品的策略如何形成”这一核心问题，展开了思考与探索。
第一层次：为什么要分成3份？
这是由天平的结构决定的。如：“有5瓶钙片，其中1瓶少了3片，设法把它找出来。”学生们想到了多种分法，如5（1、1、3）， 5 （1、1、1、1、1）， 5 （2、2、1）。仔细思考，我们发现这三种分法中，前两种其实是同一种分法。为什么这样说呢？因为它们都是在第一次称的时候，天平左、右各放1瓶，天平外还剩3瓶待测，这三种分法都是将5分成了3份，即：天平左边，天平右边和天平外。由此看来，不管有多少个待测物品，次品不是出现在天平的左边，就是在天平的右边，或者是在天平外面。所以，在找次品时，可以把待测物品分成3份来称。
第二层次：为什么要平均分成3份？如：
这三种分法都是将待测物品分成3份，但找到次品所需称的次数并不相同，这又是什么缘故呢？我们可以从最不利的情况来分析，假设天平第一次称量后没有找出次品，接下来再在几个物品中找次品呢？ 9 （ 2，2，5）将第二次称时次品所在范围缩小到5个， 9 （ 4，4，1）将第二次称时次品所在范围缩小到4个， 9 （3，3，3）将第二次称时次品所在范围缩小到3个。通过比较发现， 9 （3，3，3）的分法优势明显，也就是在接下来找次品的范围越小，称的次数就会越少。
第三层次：为什么要尽量平均分成3份？
9个零件是能够平均分成3份的，那零件个数不能平均分成3份的，该怎么办呢？如：
8 （2，2，4）和8 （3，3，2）都是分成3份，为什么后者称的次数要少些？假设第一次称量后没有找出次品，接下来分别是在4个和3个里面找次品，在3个里面找次品所需次数少些，所以零件个数不能平均分成3份的就应该尽量平均分成3份，使每份之间的数量相差最小。
通过严密的分析推理和观察比较，学生们逐步形成了完整的找次品的策略经验，即把含有次品的物品分成3份，能够平均分成3份的就平均分成3份，不能平均分成3份的，就尽量平均分成3份，这样能保证找出次品，并且使所需次数最少。
从上述三个层次中可以看出教者的独具匠心，学生从实物操作到进行抽象的书面分析，在比较与思辨中反衬和突出数学的本质特征，实现从特殊到一般、从具体到抽象的过渡，实现了思维的演绎推理，从而形成并提升为解决问题的策略经验。
2. 反思调整中，将失败经验提升为有效资源。“课堂教学是师生动态生成的过程，学生的失败经验反映了学生的认知困惑，应成为教学的着力点。”如果漠视数学课堂上学生的失利经验，拼命地往自己的教案上死拉硬拽，教师的“教”背离学生的“学”，数学课堂也会因此失去活力与张力。教师要善于捕捉来自学生的失利经验，因势利导地把它提升为有效的教学资源，并调整教学策略加以施教，严密地抽象概括出结论。

四、灵活多样的实践活动，发展综合与应用经验

朱德全教授说：“应用意识的生成便是知识经验形成的标志。” 在数学课堂教学中，教师还应注重知识的课后延伸，要使学生树立正确的数学应用观，让学生了解并掌握解决实际问题的一般思想方法，积累和发展综合应用经验。
1. 学以致用是数学应用的价值所在。现实世界有许多现象和问题隐含着一定的数学规律，需要人们从数学的角度去发现、去探索、去寻求解决策略。
例如，在《长方体的表面积》中设计了这样的拓展延伸题：把4块同样的肥皂一起包装，你能想出几种包装的方法？猜测并验证哪种方法更加节省包装纸？再如，六年级的总复习中可以设计相关的综合应用的问题，如利润、成本、效益、储蓄、保险、分期付款、税收，还有最少材料、最优组合、最佳路线等，启发、诱导学生去研究、发现问题的实质，增强学生的数学应用意识。
其次，通过实践活动或游戏中的数学，培养学生的应用意识。如学习了《四则混合运算》之后“算24点”，在学习奇数、偶数、质数与合数之后了解“哥德巴赫猜想”，在“因数与倍数”绍“完全数”，在《奇妙的图形密铺》绍密铺的历史背景，欣赏荷兰艺术家埃舍尔的密铺作品，品味数学与艺术的高度融合，让学生感受数学文化的博大精深。
2. 感悟数学思想和方法是数学应用的灵魂所在。“如果将学生的思维素质看作一个坐标系，那么数学知识、技能就好比横轴上的因素，而数学方法就是纵轴上的内容，忽视数学思想和方法，就失去了认知网络的纵横交错，也就不可能完善认知结构。”小学数学隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。如常用的分类思想和分类方法，集合思想和交集方法，在本质上都是相通的，所以小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即小学数学思想方法。小学数学教材中，数学思想方法都是以隐含的形式呈现，“数学思想方法的感悟是在学生数学活动中积累的。”
学习的目的在于应用，数学思想方法就是帮助构建解题思路的指导思想。应用数学的思想和方法去寻求对科学事实和现实世界现象的认识和理解的过程，也就是用数学知识解决日常生活、学习、工作中各种实际问题的过程。
总之，“数学活动经验与四个目标有着密切的关系，四个目标是一个有机的整体，它们是在丰富多彩的数学活动中实现的，数学活动经验是四个目标联系的纽带，贯穿于整个目标中，数学活动经验的获得是实现四个目标的重要途源于：毕业论文致谢怎么写www.618jyw.com
径。”设计符合学情、激发兴趣且富含数学意义的活动是当下我们要重点研究的。
数学课堂应当是灵动、智慧的，学生数学学习过程应当是富有个性的，学生的发展是终身的。让我们赋予数学活动经验更多“生长的力量”，使学生在数学学习的过程中，通过经历、内化、概括、迁移，不断地获得和积累经验，分析和理解经验、反思和提升经验，从而获得长远的发展。
（编辑：陈诚）