探讨线性规划也谈一谈线性规划不足学士

摘要：本文就简单的线性规划问题的题型和解题方法做了一些介绍和应用举例，着重介绍了截距、面积、斜率、距离、函数的最值等方法的求解过程，还推荐介绍了构造向量的方法求解，构造点到直线的距离的方法求解，力求新意，大家共享。
关键字：线性规划 目标函数 数形结合 斜率 距离 最值
高中数学人教A版必修五第三章不等式的第三节讲简单的线性规划问题，主要是根据线性约束条件在坐标平面中作出可行域，通过对目标函数图像的研究，得到目标函数的最优解。它充分体现了数形结合的数学思想的应用，同时它与截距、面积、斜率、距离、函数的最值，取值范围等问题的紧密结合，也体现了知识点的综合性和交叉性，而这也正是现在高考命题的走向。
下面结合高三复习的实际实践情况，对此类问题做下面一些探讨，不周之处，不吝赐教。

一、基本的线性规划问题

我们通过简单的作图作出可行域，再通过对目标函数的变形y=- x+ ，再作直线y=- x+ 的一组平行直线束，平移并保持与可行域有公共点，求出在y轴上的截距 的最大值和最小值，进而求出z的最大值和最小值。
例1 若x、y满足条件2x+y-12≤0，3x-2y+10≥0，x-4y+10≤0.求z=x+2y的最大值和最小值.
解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图1所示.作直线l∶x+2y=z，即y=- x+ z，它表示斜率为- ， 纵截距为 的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线l过点A时，z取得最大值，当l过点B时，z取得最小值。
∴Zmax=2+2×8=18，
∴Zmin=-2+2×2=2。

二、面积问题

有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解即可。
例2 在平面直角坐标系中，不等式组x+y-2≤0，x-y+2≥0，y≥0.表示的平面区域的面积是（ ）
A.4 B.4
C.2 D.2
解析：如图2，作出可行域，易知不等式组x+y-2≤0，x-y+2≥0，y≥0.表示的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为A（0，2），B（2，0）， C（-2，0）.于是三角形的面积为：S= |BC|·|AO|= ×4×2=4。从而选B。

三、斜率问题

当目标函数形如z= 时，可把z看作是动点P（x，y）与定点Q（a，b）连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。
例3 已知变量x，y满足约束条件x-y+2≤0，x≥1，x+y-7≤0，则 的取值范围是____________.
解析： 是可行域内的点M（x，y）与原点O（0，0）连线的斜率，当直线OM过点（ ， ）时， 取得最小值 ； 当直线OM过点（1，6）时， 取得最大值

6. 即 的取值范围是[ ，6]。

四、距离问题

当目标函数形如z= 时，可把z看作是动点P（x，y）与定点Q（a，b）连线的j距离，这样目标函数的最值就转化为|PQ|距离的最值。
例4 已知x-y+2≥0，x+y-4≥0，2x-y-5≤0，求z=x2+y2-10y+25的最小值。
解析：作出可行域如图4，并求出顶点的坐标A（1，3）、B（3，1）、C（7，9）.而z=x2+（y-5）2表示可行域内任一点（x，y）到定点M（0，5）的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是|MN|2= .

五、构造点到直线的距离问题

例5 已知实数x，y满足条件x-y+2≥0，x+y-4≥0，2x-y-5≥0.求z=|x+2y-4|的最大值为 。
解析：由|x+2y-4|联想距离公式，则将z=|x+2y-4|转化为z= ，问题划归为求可行域内的点（x，y）到直线x+2y-4=0距离最大值的 倍。借助于平面区域，易求得过点A（7，9）时，取得最大值21。
当然线性规划的题型在这里不能面面俱到。例如贵阳二十五中兑松杰老师的《构造向量巧解相性规划问题》，此法非常不错，极力推荐，大家共享，在此不再累述。还有重庆市武隆中学梁承勇老师用增量代换法处理线性规划问题，也很独到，但运算量较大，觉得不易推广，可以借鉴。源于：职称论文www.618jyw.com