浅谈解析几何2012年江苏高考数学剖析几何题另解设计

摘 要：焦点弦问题一直是近几年全国各地高考的热点内容之一，也是圆锥曲线研究的重点内容之一，这其中不仅仅渗透了数形结合、方程思想，还融入了平面几何、三角函数的知识，同时还体现了整体思维观。本文对此进行分析。
关键词：2012高考；解析几何；巧解
1992-7711（2012）20-081-1
在2012年江苏高考中，很多考生觉得数学试卷中的解析几何题计算量大、不好算、来不及做。事实上，只要我们能够做到解题思路清晰、目标明确、方法得当、合理巧算的话，这道解析几何题并不难处理。
2012年江苏数学高考题第19题：
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（-c，0）、F2（c，0）.
已知（1，e）和（e，32）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.
（i）若AF1-BF2=62，求直线AF1的斜率；
（ii）求证：PF1+PF2是定值.
一、分析
问题（1）求离心率的大小，很容易通过三个方程就可以解决；关于第二问的几点思考：
（1）（i）问渗透了方程思想，解决此问的关键是寻找到关于斜率的一个方程即可。而刻画直线斜率的大小可以通过直线的倾斜角的正切值的大小来反映，所以此题可以用倾斜角作变量来处理。而已知条件AF1-BF2=62，就是我们要找的关于斜率的那个方程，也就是说只要将这个等式中的AF

1、BF2长都用倾斜角表示可以达到目的。

（2）（i）问的解题思路为解决（ii）问提供了帮助。（i）问中由给出的等式得出斜率为定值，（ii）问的问题转化为：不论过点F1的直线PF1怎样动，即不论直线的倾斜角大小怎样变，PF1+PF2的值都不变，且为常数。所以只要将PF1、PF2长都用倾斜角表示，那么在化简过程中，PF1+PF2中的角一定会自然消元，从而问题得到解决。这其中渗透了源于：大学生毕业论文www.618jyw.com
从特殊到一般的思想方法、渗透了消元的思想。
二、解答
（1）由题意知：1a2+c2a2b2=1，
c2a4+34b2y=1，
a2-b2=c2，，解之得：a2=2
b2=1
c2=1，所以椭圆的离心率为22.
（2）设∠AF1F2=θ，AF1=l1，BF2=l2，F1到左准线的距离为p，且p=1，椭圆离心率e，且e=22，则由椭圆第二定义可得：l1=ep1-ecosθ，l2=ep1+ecosθ.
（i）由AF1-BF2=62，得ep-2ecosθ1-e2cos2θ=62，故cosθ=26，∴tanθ=22，所以直线AF1的斜率为22.
（ii）由椭圆第一定义得：BF1=2a-l2.
∵AF1∥BF2，∴PF1PB=l1l2，即PF1PF1+PB=l1l1+l2，故有：PF12a-l2=l1l1+l2，
∴PF1=l1（2a-l2）l1+l2，同理PF2=l2（2a-l1）l1+l2.
∴PF1+P2=2a（l1+l2）-2l1l2l1+l2=2a-21l1+1l2=2a-21-ecosθep+1+ecosθep=2a-ep=22-22=322.
所以PF1+PF2为定值322.
三、评注
（1）优化计算是学好数学必备的能力之一，它能帮助我们减少很多不必要的运算，提高我们的运算速度和准确率。在开始运算前就要有目的性、计划性，就要思考好算什么、怎么算、为什么要这样算？在运算过程中要注意运算的合理性、准确性、简洁性、熟练性，最终达到有效运算。
（2）如果我们熟悉焦点弦性质：l1=ep1-ecosθ，l2=ep1+ecosθ，那么此题的运算量就会减少许多。同时由于该题是求PF1+PF2整体为定值的，所以在运算过程中应采用整体思想，因此计算时还要熟悉1l1+1l2=2ep.这样在计算、化简过程中，利用整体来处理，很多不需要算的过程就可以省略，从而达到优化运算。
（3）这道高考解几题是椭圆焦点弦性质很典型的应用。事实上，双曲线、抛物线也有类似的性质。这就要求我们在平时学习中，要善于归纳、小结，了解三种圆锥曲线的统一定义。