浅论变迁一道数学题变迁

实行新棵标以后，教材内容发生了一定变化，有些被简化，有些被删除，也新增了不少内容。相应的出现了新的配套练习题，旧的练习题有一部分已经不适合新的教学内容，被淘汰。不过，如果我们认真研究新课程标准的教学内容和教学要求，就可能使一些旧的练习题焕发青春，甚至会相当精彩。
笔者最近对高中数学圆锥曲线部分的教材进行了分析，发现新课标下高中数学不再明确提出椭圆和双曲线的第二定义，从而原来以椭圆和双曲线的第二定义为基础的练习题也就被放弃了，如：
问题一：过椭圆■+■=1（a>b>0）的左焦点F1作倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若|AF1|：|BF1|=3：2，求椭圆的离心率。
解法一：（椭圆第二定义）
设椭圆的左准线为：l
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过A、B分别作l的垂线，垂足分别是A1、B1，
过B作AA1的垂线，垂足是H，设椭圆的离心率为e，
∵|AF1|∶|BF1|=3∶2，∴可设|AF1|=3m，|BF1|=2m。
由椭圆的第二定义得：■e？摇∴|AA1|=■=■，
同理：|BB1|=■，∴AH=■，
又∵AB=5m，∠ABH=90°-60°=30°，BH⊥AH
∴AB=2AH，？摇∴5m=2■，∴e=■
解法一利用椭圆的第二定义，回避了联立方程组，不失为一种巧妙的解法。但已不适合新课标的要求，若设l的方程为：
y-0=■（x+c）（其中c？摇为椭圆的半焦距）
且设A（x1，y1），B（x2，y2）
将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理求出x1+x2和x1x2与a、b、c的关系，再由|AF1|∶|BF1|=3∶2得（x1-c）∶（c-x2）=3∶2，然后联立求解，是最自然的思路，但运算量太大，不可取。所以该题一度被弃用，但笔者经过研究找到一种利用双曲线定义结合余弦定理的解法：
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解法二：连接|AF2|、|BF2|，
∵|AF1|∶|BF1|=3∶2，∴可设|AF1|=3m，|BF1|=2m。
在△AF1F2中，|AF1|+|AF2|=2a
∴|AF2|=2a-|AF1|=2a-3m，
又|F1F2|=2c
由余弦定理得：
|AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|*|F1F2|cosAF1F2
∴（2a-3m）2=（3m）2+（2c）2-2（3m）×（2c）cos60°
解得：m=■
同理：在△BF1F2中，解得：m=■
∴■=■
∴12a-6c=8a+2c，∴4a=10c，∴e=■=■
这一解法运算量小，且不超纲，关键是发现了与余源于：论文参考文献格式www.618jyw.com
弦定理的联系，综合运用了各章节的知识，回避了联立方程组的过程，简单明了地解决了问题。
按照这一思路，笔者又试着找了一些需要利用椭圆和双曲线的第二定义解决的其他问题，发现有的问题也能用此法解决。如：可以把问题一里的椭圆换成双曲线，不过要注意弦的两端点的位置可能在同一支上，也可能分别在两支上，有兴趣的读者可以自己试着解一下。
可见只要我们认真研究新课标的要求，就可以突破思维定式，拓展思路，打开一片新的天地，就可以为我们的教学和教研找到明确的目标，有效提高我们的教学质量。
（作者单位：河南省新乡市一中）