矩形,半圆,对1道三角函数课本题深入探究

在数学复习中，选好一道例题，一题多思，一题多解，一题多讲，多题一讲等形式巩固知识，训练思维，开拓视野. 同学们在数学学习中，对课本例题、习题. 事实上，课本中例题、习题具有很强的典型性，有意识地对其深化和进展、全方位探讨，推动初中语文教学论文同学们探讨课本，掌握知识，提高解题能力.
对原题条件多深思小学英语教学论文，寻求多角度、多视角的解法；对类比、推广、深化、进展；转换条件、，寻求更广泛的演绎与运用；对策略教学论文的选择做些拓展，比如代数法、剖析法、向量法、几何法、三角法等的转换；寻求与知识点、学科、策略教学论文、思想的综合，等等. 下举一例希窥全豹.
教材（苏教版）必修4P107中有一道例题：在半圆形钢板上截取一块矩形，怎样截取能使矩形的面积最大？
深思小学英语教学论文方向一设角为变量，三角函数求最值. 方便易行.
剖析1如图1，设 ∠AOB=，且为锐角，半圆的半径为R，则面积最大的矩形ABCD必内接于半圆O，且两边长为AB=Rsin， DA=2OA=2Rcos，则矩形的面积为S矩形ABCD=ABDA= R2sin2.
所以当sin2 =1(为锐角)，即=45€笆保匦蜛BCD的面积最大值R2.
答：当矩形的两边长与半圆的半径的比是1 2时，所截矩形的面积最大.
深思小学英语教学论文方向二建立函数模型，通常为二次函数或转换为二次函数，求最值. 常规策略教学论文.
剖析2如图2，设AB=x，则AD=2，故 S矩形ABCD =ABAD=x2=2 = 2，当x=时，最大值R

2.即AB=，AD=R.

答：当矩形的两边长为AB=，AD=R 时，所截矩形的面积最大.
剖析3设AB=x，则AD=2，S矩形ABCD=ABAD=x2 =2=2.
记f（x）=x4R2x2，则 f '（x）=4x3 2R2x=2x（R2 2x2），令 f'（x）=0，得x = ，由导数知识，可知当 x=时，矩形面积最大值R2.
深思小学英语教学论文方向三设二元变量，用不等式求最值.
剖析4设OA=x，AB=y，则x>0，y>0，且x2+y2=R2，S矩形ABCD=ABAD=2xy≤x2+y2=R2，当且仅当x=y= 时取等号.
剖析5设AD=x，AB=y，则x>0，y>0，且+y2=R2，而R2=+y2=+y2≥xy，当且仅当=y= 时取等号. 所以S矩形ABCD=ABAD=xy≤R2.
深思小学英语教学论文方向四剖析策略教学论文，建立直角坐标系.
剖析6如图3，建立直角坐标系，设B（x，y），下同剖析4，略.
剖析7如图4，建立直角坐标系.
由圆的参数方程，可设B（Rcos，Rsin），则 C （Rcos，Rsin），0<<.
S矩形ABCD=ABAD=2R|cos|·R|sin|=R2|sin2|，所以当sin2 =±1，即=或，即AB= ，AD=R时，矩形ABCD的面积最大值R2.
点评剖析6与剖析1书写内容差不多，但解题内涵不同. 剖析1是由平面几何三角形的知识，而剖析6是由剖析几何的策略教学论文给出，殊途同归. 剖析7也归结到角度变量，可谓异曲同工，万宗归一.
此七种解法代表四种深思小学英语教学论文方向，代表四种最值的策略教学论文：一元二次函数求最值、三角函数求最值、二元不等式求最值和导数求最值. 平面几何、代数、直角坐标、参数方程是深思小学英语教学论文的考量，另外还考虑向量策略教学论文等. 不同的解法代表不同的思想策略教学论文，但一类理由的解法. 同学们在审题中要提炼题目特点，挖掘已知条件和隐含信息，将其转化为图形或数学模型：函数、剖析几何量、向量形式、不等式或几何特点；因地制宜寻找变量：角或长度.
变式：如图5，在椭圆形钢板上截取一块矩形，怎样截取能使矩形的面积最大？
类比解法，此题的解答.
剖析1限于篇幅，仅供其一：设椭圆方程为+=1，其参数方程为设象限内该椭圆上任意一点P（acos，bsin），则矩形PQRS的面积S=（2acos）·（2bsin ）= 2ab sin2，其最大值为2ab.
点评提醒的是，此处∠POx.
这样的深思小学英语教学论文对解决一类理由是大有裨益的. 此题还有如下的推广与演绎，这近年高考或模拟试题实践.
例1如图6，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，则何时十字形的面积最大，最大面积是多少？
剖析十字形的面积=两个相叠加矩形的面积－中间叠加正方形的面积；或十字形的面积=大正方形的面积4个小正方形的面积.
若设∠FBC=，在图中含的Rt△BCF中，斜边为直径1，所对的直角边CF=sin，邻边BC=cos，则S=2sincoscos2=sin2=sin2= sin（2），tan=，<90€? 当sin（2 ）=1，即2= 90€笆保琒= 最大.
例2如图7，求半径为r的圆的内接矩形的最大面积.
剖析1设BC=x，CD=y，则x2+y2=（2r）2. 则S矩形ABCD =xy=x ==≤2r2或S矩形ABCD=xy ≤=2r2，当且仅当x=y=r，即ABCD为正方形时面积最大.
剖析2建立如图8所示坐标系，由圆方程x2+y2=r2，设D（x，y），S矩形ABCD=4xy≤4=2r2，当且仅当x=y= r，即ABCD为正方形时面积最大.
或由圆的参数方程设D（rcos，rsin），S矩形ABCD=4rcosrsin=2r2sin2≤2r2，当且仅当=，即ABCD为正方形时取最大值.
例3如图9，在半径为R，圆心角为60€?的扇形AB弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上，求矩形面积的最大值及相应∠AOP的值.
剖析1设PN=x，在 △OQM中，QM=x，∠QOM =60€埃蔕M= x. 在 △OPN中，ON=，故MN=ONOM=x. 则S矩形PQMN=MNPN =x（x）. 下略.
剖析2设∠POB=，PN=rsin=QM，ON=rcos，OM=rsin，MN=rcosrsin. 则S矩形PQMN=MNPN=rcosrsin rsin=r2sincossin

2. 下略.

例4如图10，现在要在一块半径为1m，圆心角为60€暗纳刃沃桨錋OB上剪出平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP=，平形四边形MNPQ的面积为S.
（1） 求S关于的函数联系式；
（2） 求S的最大值及的值.
剖析如图10，平行四边形PQMN的面积等于矩形PQM'N'的面积，理由同例

3. 解略.

例5如图12，点A在半径为r的半圆上运动，BC为半圆的直径，正方形PQMN的四个顶点在 △ABC的边上，求正方形面积的最大值.
剖析1设正方形边长为a，∠ACB=，则∠APQ =∠BQM=∠ACB=，如图13，AS=AR+RS,即2rcossin=acossin+a，则a= == .
记a=f （）= ，则f'（）= .
由导数知识，知当∈0，时，f' （）>0，当∈ ，时，f' （）<0，所以f （）在=时取得最大值，即a=r，面积S=r2.
剖析2设正方形边长为a，∠ACB=，则∠APQ =∠BQM=∠ACB=，由题意，BC=CN+NM+MB，即2r=acot+a+atan=a（cot+tan+1），a=≤，当且仅当=时，面积最大值r2.
1. 如图14，半圆O的直径为2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边 △ABC. 问：点B在位置时,四边形OACB面积最大？
2. 如图15，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边 △ABC.问：点B在位置时,四边形OACB面积最大？
3. 如图16，在半径为R，圆心角为60 €暗纳刃蜛B弧上取中点P，作扇形的内接矩形NMEF，使MN与OP平行. 求矩形面积的最大值.
4. 如图17，边长为a的正方形景区OABC内部有以O为圆心，a为半径的扇形山区，剩余为平地. 现开发一矩形停车场PQBR，问矩形停车场的最大面积是多少？
5. 如图18，已知A，B两地相距2R，以AB为直径作半圆，在半圆上取一点C，连结AC，BC，在 △ABC内种草，又M，N为弧AC，弧BC的中点，在△AMC和△BNC内种花，其余是空地. 设花坛面积为S1，草坪面积为S2.
（1 ）用及R表示S1和S2；
（2 ）求的最小值.

1. 当=时，最大值+

2. 当=时，最大值+

3. （2）R

2.4. a

5. （1）S1=R2(cos +sin2sincos)，S2=R2sin；

（2）1.