矩形,如何用面积相等法巧解数学几何题

一般来说，中考数学题的解法不止，但选取不当，就会使解题复杂化，会误入歧途导致错误。若能正确把握数学思想，则可使思路开阔，策略教学论文简便快捷。而面积相等法，解答中考数学试题，常可避繁就简，给人以耳目一新的感觉，还会收到事半功倍的效果。让来感受一下吧！

一、同三角形面积相等

例1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，已知AC＝4，BC＝3，那么AB边上的高CD=.
剖析：在Rt△ABC中，由勾股定理易求AB5.再由S\-ΔABC=\S]1[]2\sBC×AC=\S]1[]2\sAB×CD,\S]1[]2\s×3×4=\S]1[]2\s×5×CD,所以CD=\S]12[]52\s

二、分割后的三角形同原三角形面积相等

例2.如图1，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（ ）
Ａ．\S]7[]5\s Ｂ．\S]12[]5\s Ｃ．\S]13[]5\s Ｄ．\S]14[]5\s
剖析：可设矩形ABCD的对角线AC.BD相交于点O,连接PO,在Rt△ABD中，由勾股定理可求得BD

5.再矩形的对角线相等且互相平分，则有OA=OD=\S]5[]2\s,

又由S\-ΔAOD=S\-ΔPOA=S\-ΔPOD
得\S]1[]2\s×4×\S]3[]2\s=\S]1[]2\s×\S]5[]2\s×PE+\S]1[]2\s×\S]5[]2\s×PF所以PE+PF=\S]12[]5\s,选B.
例3.在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图3-1所示的位置摆放，
该三角尺的直角顶点为F，
一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
（1）在图3-1中请你观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG的数量联系，然后证明你的猜想；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图3-2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间的数量联系，然后证明你的猜想；
（3）当三角尺在（2）的上沿AC方向继续平移到图3-3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）猜想仍然成立？（不用理由）
剖析：（1）BF=CG；易证明△ABF≌△ACG（AAS）∴BF=CG．
（2）DE+DF=CG；可连接AD，显然SΔABD+SΔADC=SΔABC
而SΔABD =AB×DESΔADC = AC×DFSΔABC =AB×CG
所以AB×DE+AC×DF =AB×CG
又△ABC是等腰三角形，所以AB=AC,DE+DF=CG。
（3）仍然成立．

三、小三角形面积相加减同某一图形面积相等

例4.如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离为h\-

1、h\-2、h\-3，△ABC的高为h．

在图（1）中， 点P是边BC的中点，此时h\-3=0，可得：．
在图（2）—（5）中，点P在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．
（1）请探究：图（2）—（5）中， h\-

1、h\-

2、h\-3、h之间的联系；（写出）

（2）证明图（2）所得； （3）证明图（4）所得．
（4）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°， RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离是h\-1、h\-2、h\-3、h\-4，桥形的高为h，则h\-1、h\-2、h\-3、h\-

4、h之间的联系为：；图（4）与图（6）等式有何联系？

剖析：（1）图②可连接AP,则S\-ΔAPB+S\-ΔAPC=S\-ΔABC h\-1+h\-2+h\-3=h
图③仍连接AP，S\-ΔAPB-S\-ΔAPC=S\-ΔABC, h\-1-h\-2+h\-3=h
图④连接PA,PB，PC, 则S\-ΔAPB+S\-ΔBPC+S\-ΔAPC =S\-ΔABCh\-1+h\-2+h\-3=h
图⑤连接PA,PB，PC, 则S\-ΔAPB+S\-ΔBPC-S\-ΔAPC =S\-ΔABCh\-1+h\-2-h\-3=h
（2）图②中，h\-1+h\-2+h\-3=h．
证明：连结AP， 则S\-ΔAPB+S\-ΔAPC=S\-ΔABC．
1[]2AB×h\-1\S]1[]2\sAC×h\-2=\S]1[]2\sBC×h．
又 h\-3=0，AB=AC=BC，
∴ h\-1+h\-2+h\-3=h．
（3）图④中，h\-1+h\-2+h\-3=h．
证明：连接PA,PB，PC, 则S\-ΔAPB+S\-ΔBPC+S\-ΔAPC =S\-ΔABC
1[]2AB×h\-1+\S]1[]2\s AC×h\-2+ \S]1[]2\sBC×h\-3 =\S]1[]2\s BC×h
又∵△ABC 是等腰三角形∴AB=AC=BC
∴h\-1+h\-2+h\-3=h
（4）h\-1+h\-3+h\-4=\S]mh[]m-n\s．
让R、S延BR、CS延长线向上平移，当n=0时，图⑥变为图④，上面的等式图④等式，所面是图④中的推广．

四、由中间量某些图形面积相等

例5.阅读下面短文：如图①，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，现将△ABC补成矩形，使 △ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，个顶点落在矩形这一边的对边上，那么要求的矩形画出两个：矩形ACBD和矩形AEFB（如图 ②）．
解答理由：
（1）设图②中矩形ABCD和矩形AEFB的面积为S\-

1、S\-2， 则S\-1S\-2

（填“＞”，“＝”或“＜”）．
（2）如图③，△ABC是钝角三角形，按短文要求把它补成矩形，那么要求的矩形画出个，图③把它画出来．
（3）如图④，△ABC是锐角三角形且三边BC＞AC＞AB，按短文要求把它补成矩形，那要求的矩形画出个，图④把它画出来．
（4）在（3）中所画出的矩形中，哪的周长最小？为？
剖析：（1）△ABC 的面积与矩形ABCD的面积等底等高，
，矩形ABCD的面积=2 SΔABC 同理：矩形AEFB的面积=2 SΔABC
所以S1＝S2
（2）左图（3）右图
（4）以AB为边的矩形周长最小．
跟据前面的易知，矩形BCED、矩形ACHQ、矩形ABGF的面积都为△ABC 的面积的2倍，显然，这三个矩形的面积相等.
可设矩形BCED、ACHQ、ABGF的周长为L\-1、L\-2、L\-3，BC＝a，AC＝b，AB＝c．易知，这三个矩形的面积相等，令其面积为S，则有
L\-1＝\S]2Sa\s＋2a，L\-2＝\S]2SB\s＋2b，L\-3＝\S]2Sc\s＋2c．
∵ L\-1－L\-2＝\S]2Sa\s＋2a－（\S]2Sb\s＋2b）＝2（a－b）\S]ab-Sab\s．
而ab＞S，a＞b，
∴ L\-1－L\-2＞0．即L\-1＞L\-2．同理L\-2＞L\-3．
∴ 以AB为边的矩形周长最小．
解题无定法，贵在得法。以例析面积相等法，构思别致，简捷巧妙，熟练的灵活运用，启开解题思维的闸门，既可使理由化难为易，又可化繁为简，还可节省时间，何乐而不为？
（作者单位：甘肃省天水市秦州区苏城中学，甘肃 天水741010）