试论定理初中数学有效性定理教学之我见

【摘要】定理教学无疑是初中教学中极为重要的内容，它的重要性不仅仅是由于定理的本身为教学的内容结构编织了坚实的知识网络，而且蕴含着丰富的数学思想，潜藏巨大的智力价值，因此是一部宝贵的课程资源。可以通过在定理的教学中，学生不掌握数学定理就不可能通晓数学的结论，也就不可能学好数学。笔者通过创设数学定理的发现情景，引导数学定理的描述方法，例举数学定理的验证手段，解读数学定理的展示方式，提升数学定理的思想方法等途径，能有效地开展数学定理。
【关键词】定理；思维；有效
数学定理教学的有效性研究是非常有价值和意义的，其开发和利用的途径有：创设数学定理的发现情景，引导数学定理的描述方法，例举数学定理的验证手段，解读数学定理的展示方式，提升数学定理的思想方法等，能有效地开展数学定理教学，挖掘定理教学的智力价值。这样的设计对学生思维有深刻影响，有利于形成基本的数学素养，符合学生学习的心理规律、学习规律以及学科规律，践行了数学是一门思维体操的艺术。

一、创设数学定理的发现情景

德国教育家德海纳特说：“所有有活力的思想都有一个缓慢的发展过程，应给学生足够的时间，而向学生预示结果或者解决方法都会阻碍学生努力研究。”在定理教学过程中，教师应该充分注重定理的发现过程，精心创设定理情景，引导学生去探索、去研究，具体有：

1、生活实例：

数学原来就来自我们身边的现实世界，是认识和解决生活中问题的有力武器。教师要善于利用身边的教学资源，使定理的发现水到渠成。例如七年级上《7.3线段的长短比较（2）》，书本提供了生活化的例子：（1）小狗看到远处的骨头，总是径直奔向食物；（2）从A地到B地有3条路可走（如图1），为了尽快到达，人们通常选择其中的直路；上面的两个事例中，你能发现上面共同之处吗？上面的例子说明了生活实例对定理发现的作用。

2、逻辑推理：

著名数学家G﹒波利亚谈到，“数学有两个侧面，……用欧几里德方式提出来的数学是一门系统的演绎科学；在创造过程中的数学却是实验性的归纳科学。”他明确提出两种推理：论证推理可用来确定数学知识，合情推理可用来为猜想提供依据。例如八年级上《

1.2平行线的判定（2）》的合作学源于：论文大全www.618jyw.com

习环节中，如图2，直线AB，CD被直线EF所截，若∠2=∠3，则AB与CD平行？在教学中笔者先复习当∠1=∠3时，AB与CD平行的理由（同位角相等，两直线平行）。然后，教师抛出合作学习环节，学生通过∠1=∠2（对顶角相等）及已知∠2=∠3，推理能得出∠1=∠2，从而得到AB∥CD。此时，教师提问：判别两条直线平行你有什么新方法？学生根据刚才的推理，很容易发现平行线的判定方法2：内错角相等，两直线平行。一些定理的发现可以通过其他定理的合理推理得到，这样合理推理能清晰地反映定理间的联系，能促使学生更快的发现新定理，更重要的是他们能学到发现的方法，促进学生思维能力的发展。

二、引导数学定理的描述方法

爱因斯坦曾说过：“一个人的智力发展和他形成概念的方法，在很大程度上取决于语言”。数学教育家斯托利亚尔言在《数学教育学》一书中指出：“数学教学也就是数学语言的教学”。因此，在定理教学中，培养学生掌握数学语言，对学生思维能力的发展和提高有着重要的意义。数学语言表现为图像语言、文字语言和符号语言，它们都是数学思维和数学交流必不可少的工具，学生通过数学语言建构数学思维的过程。

1、图像描述：

图像语言，它是用图像或图形来形象地表述数学对象和数学关系的特殊数学符号。图像语言是文字语言的直观再现，从直观入手，学生更容易形成数学定理的描述。如九年级下《3.1直线与圆的位置关系（3）》的合作学习环节，我们用“数学实验”得到一组图像语言，如图3所示，它直观的描述了圆有无数条切线，有无数个对应的切点，有无数条半径，用图像语言阐释了“经过切点的半径垂直于圆的切线”和“经过切点垂直于切线的直线必经过圆心”，直观的描述了圆的切线、经过切点和半径之间的逻辑关系，为学生自己归纳圆的切线的性质定理的文字语言描述进行了铺垫。

2、文字描述：

文字语言，它是用来解释、联系符号语言、叙述数学规律、描述数学定义、定理等的文字。如上面涉及到的定理，在图形语言的帮助下分解出3个要素“切线、半径、经过切点”，教师采用命题的结构进行分析，帮助学生文字描述定理的条件是“直线与圆相切、经过切点的半径”，结论是“该直线与该半径互相垂直”；也可以采用出一组语言题的形式，如（1）圆的切线垂直于半径；（2）圆的切线垂直于过切点的半径；（3）垂直于切线的线是半径；……等，让学生去选择其中哪一句语言归纳比较符合你的想法，久而久之，学生的文字归纳意识增强了，文字语言的表达能力精准了。

3、符号描述：

符号语言，它是用数字、字母、运算符号来表示的语言。定理的呈现形式一般是文字语言，而符号语言把文字语言直观化、数学化、统一化，更好的把文字和图形间的关系简洁地描述出来，是研究数学问题的重要工具。如上例，结合图像描述和文字描述，用符号语言表示：∵⊙O与BC相切于点C，∴OC⊥BC，简洁明了的阐释定理。认识定理必须做到三种语言的统一，这是正确运用定理的必要准备，因此，用三种不同语言形式，呈现同一数学知识，学生才能对该知识有一个比较完整地认识，在大脑中形成认知，做到点上的深化。

三、例举数学定理的验证手段

定理发现所形成的结论只是对现象的可能性结果，尚未经过逻辑的严格证明，还缺乏作为真理的力量而使学生深信不疑。因此，要使学生对所形成的结论在思想上产生认同感就需要对数学定理进行验证，命题证明对于初中学生来讲主要是演绎证明和数学实验。如前面涉及的“从同位角相等，两直线平行”到“内错角相等，两直线平行”就是利用了演绎证明，此时这样的方法是有效而恰当的。

四、解读数学定理的展示方式

1、解读数学定理的要素。

学生对数学定理有了正面认识后，还需要通过相关真假命题的比较，才能深刻的理解它们，认识才能升华，思维才能深入。如定理“经过切点的半径垂直于圆的切线”，通过辨析：“圆的切线必垂直于圆的半径？垂直于圆的半径的直线是圆的切线？等”，去伪存真，深化理解，达到真正掌握，克服思维上的片面性，提高思维的严密性。

2、解读数学定理的内涵及外延。

数学定理的有些条件可以有不同形式进行描述，需要教师对它进行必要的挖掘，如垂径定理的条件“圆的直径垂直于弦”，可以描述为“圆的半径垂直于弦”，或者“圆心到弦的垂线段”，只有这样，学生在实际问题的背景下才能灵活运用垂径定理解决数学问题；垂径定理与等腰三角形“三线合一”有一定的相似之处，但前者是后者证明方法的兼容，又是圆中证明的精简，把握定理的内涵与外延，使定理运用左右逢源。

五、提升数学定理的思想方法

孙纬刚老师说过：“让学生站在全局的高度去领会知识的同中有异、异中有同、八方联系、浑然一体。”由此促使学生形成一种求同存异的学习观念，养成对问题处理时的辩证统一，启发探究的方法，暴露思维过程，促进学生学习智慧的生成，实现智慧教学。抓住定理中数学思想的产生过程，让思想方法深入学生的心中，而不是我们给学生的一个代名词。
每个定理都有它发现与发展的过程，可见，揭示定理发现或发展过程，有着不可忽视的教育价值。有效的数学定理教学，有助于学生牢固掌握数学知识的结构，有助于学生发现问题、解决问题能力的提高，有助于数学思维的发展，有助于对数学方法、数学思想的掌握和运用。