简论妙用“0”与“1”妙用科技

摘 要：“0”与“1”是日常生活中最常见的两个数字，但在数学运算中，若能恰当地应用，就能起到事半功倍的效果.
关键词：“0”；“1”；妙用
“0”与“1”是我们在日常生活中最常见的两个数字，很是一般，但在数学运算中，若能恰当地应用，就能起到事半功倍的效果。例如，求条件代数式的值，是中学数学中一种常见的题型，一般从已知式中不能确定代数式中字母的值，或虽确定，但计算繁冗，这时若让“0”或“1”出场，问题就会迅速求解；又如，在学习三角函数这一部分内容的时候，我们经常会发现把“1”用一些三角函数代换，问题就会迎刃而解.下面我就自己在教学中，利用“0”与“1”进行解题的体会结合具体实例，与大家共同探讨.
一、将“0”值代数式或已知式构成一个“0”值代数式，再将所求式分离出含有“0”值的代数式，然后代入求值
例

1.已知x2+3x-1=0，求x5+源于：论文的写法www.618jyw.com

3x4-3x3-6x2+2x+8的值.
解：∵x2+3x-1=0，∴x5+3x4-3x3-6x2+2x+8
=x3（x2+3x-1）-2x（x2+3x-1）+8=8.
例

2.已知x=■-1，求x3+2x2-9x-5的值.

解：由已知得x+1=■，两边平方，整理得x2+2x-9=0，
∴x3+2x2-9x-5=x（x2+2x-9）-5=-5
例3.已知二次函数y=x2-2011x+2013图象与x轴的交点是（a，0）、（b，0），求（a2-2012a+2013）（b2-2012b+2013）的值.
解：由题意得a2-2011a+2013=0，b2-2011b+2013=0.且当y=0时，由根与系数的关系，得ab=2013.
∴（a2-2012a+2013）（b2-2012b+2013）
= [（a2-2011a+2013）-a][（b2-2011b+2013）-b ]=（-a）（-b）=ab=2013.

二、将题目中的“1”用适当的代数式表示或构造一个值为“1”的代数式来解决问题

例4.若n满足（2009-n）2+（n-2008）2=1，求（2009-n）（n-2008）的值.
解：∵（2009-n）+（n-2008）=1，∴[（2009-n）+（n-2008）]2=1，
（2009-n）2+2（2009-n）（n-2008）+（n-2008）2=1.
由已知条件（2009-n）2+（n-2008）2=1，得2（2009-n）（n-2008）=0.
即（2009-n）（n-2008）=0.
例

5.求cos■cos■cos■的值.

解：∵■=1，∴cos■cos■cos■=■ =■=■=■=■=-■.
三、把某一式子看作分母为“1”的式子，再将1=sin2θ+cos2θ代入，根据题目要解决的要求进行运算
例

6.已知tanθ=2，求sin2θ-sinθcosθ+2的值.

解：sin2θ-sinθcosθ+2=■
=■=■
=■=■=■.

四、利用1=tan45°同时借助正切公式tan（α+β）=■解决问题

例7.求（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）…（1+tan45°）的值.
解：∵1=tan45°，∴1+tan45°=2.
再令θ+φ=45°，则1=tan45°=tan（θ+φ）=■，
∴tanθ+tanφ+tanθtanφ=1，则（1+tanθ）（1+tanφ）=2，
于是（1+tan1°）（1+tan44°）=（1+tan2°）（1+tan43°）=…=（1+tan22°）（1+tan23°）=2.
∴原式=222·2=223.
总之，以上各例都有多种解法，但利用“0”或“1”代换较为简捷.
（作者单位 甘肃省渭源职业中等专业学校）