浅议导数运用导数解含参理由高考常见题型

更新时间:2024-05-22 点赞:17179 浏览:72653 作者:用户投稿原创标记本站原创

【摘要】含参数问题既是高中教学的重点和难点,又是历年高考的摘自:毕业论文下载www.618jyw.com
热点。本文从四个常见题型对含参函数问题进行了分析与研究,着重介绍常见题型利用导数解决这些问题的基本策略。
【关键词】导数解决含参题型方法
运用导数解决含参数问题既是高中教学的重点和难点,又是历年高考的热点。这类问题既能全面地考查学生对导数及其运算的运用能力,又能综合地考查学生对函数与方程思想、分类与化归思想、数形结合思想、等价变换思想等以及综合运用知识解决新情境、新问题的能力。既体现了新的课程理念,又强调了数学的实际应用,有利于考查学生的实践能力。由于含参函数问题本身具有复杂性,涉及到不等式、导数、函数等章节的多个知识点,大多数学生在解决这类问题时往往感到很棘手。本文结合近几年高考试题中出现的含参数问题进行分析与研究,探讨用导数求参数范围的几种常见题型及求解策略。
题型一:已知恒成立,求参数问题
高中数学含参数恒成立问题是一类非常常见的问题,在高中的中经常出现,在历年的高考中,颇受高考命题专家的“青睐”。 对这一类问题的求解,往往借助导数知识,巧妙求解,体现了导数较高的思维价值和应用价值。

(一)单调性最值法

案例

1.(2012高考湖南卷)已知函数f(x)=eax-x,其中a≠0.

若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合.
【解析】:(1)若a0,f(x)=eax-x<1,这与题设矛盾,又a≠0,
故a>0. 而f'(x)=aeax-1,令f'(x)=0,得x=1a1n1a
当x<1a1n1a时,f'(x)1a1n1a时,f'(x)>0,f(x)单调递增,故当x=1a1n1a时,f(x)取最小值f(1a1n1a)=1a-1a1n1a
由题意f(x)1恒成立,当且仅当1a-1a1n1a

1. 令g(t)=t-t1nt,则g'(t)=-1nt

当01时,g'(t)<0,g(t)单调递减.
故当t=1时,g(t)取最大值g(1)=

1.因此,当且仅当1a=1即a=1时,①式成立.

综上所述,a的取值集合为{1}.

(二)分离参数最值法:

在求解某些含参数问题时,若能将参数分离出来,则往往显得非常简捷、有效。这种处理方式称为"分离参数法".
若不等式f(x)g(a)恒成立[f(x)]ming(a)(即求解f(x)的最小值);
若不等式f(x)g(a)恒成立[f(x)]ming(a)(即求解f(x)的最大值)
案例2.(2008高考湖北卷)若f(x)=-12x2+b1n(x+2)在(1-,+∞)上是减函数,则b的取值范围是( ) A.[-1,+∞] B.(-1,+∞) C.(-∞,-1] D.(-∞,-1]
【解析】:由题意可知f'(x)=-x+bx+2,在x∈(-1,+∞)上恒成立,
即bx(x+2)=(x+1)2-1在x∈(-1,+∞)上恒成立,由于x≠-1,所以b-1,
分离变量法是近几年高考考查和应用最多的一种。解决问题时需要注意:(1)确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一类;(2)确定是求最大值、最小值还是值域. 高三复习过程中,很多题目都需要用到分离变量的思想。

(三)端点最值法:

案例

3.(2011高考浙江卷)设函数f(x)=a21nx-x2+ax且a>0

(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)求所有实数a,使e-1f(x)e2对x∈[1,e]恒成立.
【解析】:(Ⅰ)f'(x)=a2x-2x+a=(x-a)(2x+a)x(x>0)
由于a>0,所以f(x)的增区间为(0,a),减区间为(a,+∞)
(Ⅱ)由题意得,f(1)=a-1e-1ae,由(Ⅰ)知f(x)在[1,e]内单调递增,
要使e-1f(x)e2对x∈[1,e]恒成立,只要f(1)=a-1e-1f(e)=a2-e2+aee2a=e
含参数的函数恒成立问题是高考热点题型之一,这类问题往往涉及面广,题目难度大,综合性强,解决此类问题所需的数学思想、方法较多。
题型二:已知函数单调性,求参数问题
已知函数的单调性,求参变量的取值范围,实质上是含参数恒成立问题的一种重要题型,若函数f(x)在区间D上是增函数,则f'(x)0在区间D上恒成立;若函数f(x)在区间D上是减函数,则f'(x)0在区间D上恒成立;
案例

4.(2011高考安徽卷)设f(x)=ex1+ax2,其中a为正实数

(Ⅰ)当a=43时,求f(x)的极值点;(Ⅱ)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围。
【解析】:f'(x)= ex(1+ax2)-ex·2ax(1+ax)2=ex(1+ax2-2ax)(1+ax)2
(I)略 (II)若f(x)为R上的单调函数,又a>0,
∴f'(x)0恒成立ax2-2ax+10恒成立
因此,△4a2-4a00a1,又a>0, ∴a的取值范围为0利用导数与函数单调性的关系求解的题型,是高考命题的一种趋势,它充分体现了高考 “能力立意”的思想。对此,复习中不能忽视。
题型

三、 已知零点(或极值点),求参数问题

已知函数的零点或极值点,求参变量的取值范围,与函数的极值、最值(或值域)有密切相关,解决该类问题的关键是转化求解,从而使问题得到解决。案例

5.(2011高考辽宁卷)已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是

分析:问题转化为方程f(x)=ex-2x+a=0有解,即a=2x-ex有解
令 g(x)=2x-ex则由g'(x)=2-ex=0x=1n2
当x1n2时,函数g(x)递减,
∴当x=1n2时,函数g(x)取得极大值,也是最大值g(1n2)=21n2-e1n2=21n2-2
从而a21n2-2
案例6.(2010高考北京卷) 设定函数f(x)=a3x3+bx2+cx+d(a>0),且方程f'(x)-9x=0的两个根分别为1,

4.(Ⅱ)若f(x)在(-∞,+∞)无极值点,求a的取值范围。

【解析】:(Ⅱ)由于a>0,所以f(x)=a3x3+bx2+cx+d在(-∞,+∞)内无极值点等价于f'(x)=ax2+2bx+c0在(-∞,+∞)内恒成立
由题意得2b=9-5a,c=4a,又△=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9)
由 a>0△=9(a-1)(a-9)0得a∈[1,9]
题型

四、已知切线方程,求含参数问题

已知函数的切线方程或切线斜率,可利用导数的方法求出切点坐标或求出曲线中的有关参数,进而可以研究曲线的其他性质。
案例12.(2009高考福建卷)若曲线f(x)=ax2+1nx存在垂直于y轴的切线,则实数a取值范围是.
【解析】:上述也可等价于方程2ax+1x=0在(0,∞)内有解,
即a=-12x2(x>0)a∈(-∞,0)
根据导数的几何意义,原问题转化为一个熟悉的问题来求解,进而求出参数的值。
数学的深奥复杂性在于数学问题的千变万化,参数问题形式多样,方法灵活多变,技巧性较强。这就要求我们要以不变应万变,在解题过程中,要根据具体的题设条件,认真观察题目中不等式的结构特征,从不同的角度,不同的方向,加以分析探讨,从而选择适当方法快速而准确地解出。当然除了以上的方法外,还有许多其它的方法,特别要注意的是,各种方法之间并不是彼此孤立的,而是几种方法的融合。因此,系统地掌握参数问题的基本题型及解题方法,无疑会对学生今后学习及培养学生分析问题和解决问题等方面有很大的帮助。
参考文献
曾安雄.巧用导数“导”出参数.高中数学教与学,2010、6;
梁小金.运用导数解决含参函数问题的策略.高中数学教与学,2010、7.
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